Rette incidenti e perpendicolari

Rette incidenti, coincidenti, perpendicolari e oblique: scopri la definizione di queste rette e impara a utilizzarle. Troverai in questa lezione anche il teorema di esistenza e unicità della perpendicolare.

Appunti

Cosa sono due rette incidenti? Quando sono perpendicolari e quando sono oblique? “Perpendicolare” e “incidente” sono concetti che usi tutti i giorni, persino per dare indicazioni stradali. Ora sai che derivano dalla geometria e puoi collegarli alle definizioni di rette incidenti perpendicolari e oblique.

Vuoi sapere se la perpendicolare per un punto è unica o se ne esiste più di una? Lo vedremo in questa lezione, studiando il teorema di esistenza e unicità della perpendicolare.

In questa lezione imparerai:

  • Definizione di rette incidenti e perpendicolari: cosa sono e quali proprietà hanno;
  • Teorema di esistenza e unicità della perpendicolare: quando esiste una retta perpendicolare e quante ne passano per un dato punto del piano

Prerequisiti per imparare le rette incidenti e perpendicolari

I prerequisiti per imparare le rette incidenti e perpendicolari sono:

  • enti primitivi
  • angoli.

Definizione di rette incidenti e perpendicolari

Due rette sono:

  • incidenti se si incontrano in un punto;
  • coincidenti (cioè una sopra l’altra) se si incontrano in almeno 2 punti.

Due rette incidenti dividono il piano in:

  • due coppie di angoli opposti al vertice congruenti tra loro;
  • angoli tutti congruenti e retti: $\frac{360^{\circ}}{4}=90^{\circ}$.

Due rette sono oblique quando sono incidenti ma non perpendicolari.

Teorema di esistenza e unicità della perpendicolare

Teorema di esistenza e unicità: “Per un punto del piano passa una e una sola retta perpendicolare ad una retta data”.

La dimostrazione del teorema di unicità delle perpendicolari si divide in due casi, e in tutti e due i casi si dimostra prima l’esistenza e poi I’unicità della perpendicolare ad una retta per un punto dato.

Caso 1: se il punto $P$ appartiene alla retta $r$

  • Per dimostrare l’esistenza costruiamo un triangolo isoscele con la base sulla retta $r$ e sfruttiamo la proprietà del triangolo isoscele per cui l’altezza è anche mediana e bisettrice.
  • Dimostriamo l’unicità sfruttando l’unicità della bisettrice.

Caso 2: se il punto $P$ non appartiene alla retta $r$

  • Dimostriamo l’esistenza costruendo un triangolo isoscele che ha come lato obliquo il segmento che unisce $P$ ad un qualsiasi punto di $r$, sui triangoli che si trovano applichiamo il primo criterio di congruenza e la proprietà della bisettrice del triangolo isoscele.
  • Per dimostrare l’unicità applichiamo il teorema dell’angolo esterno.

SOS Matematica

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