Impara a dimostrare l’equivalenza tra poligoni: tra due parallelogrammi, tra triangoli e parallelogrammi, tra triangoli e trapezi e tra triangoli e poligoni circoscritti ad una circonferenza.
Appunti
Equivalenza fra due parallelogrammi, fra triangoli e parallelogrammi, fra triangoli e trapezi o fra triangoli e poligoni in generale.
Quali sono gli enunciati dei teoremi e le dimostrazioni? Dopo aver studiato la definizione di poligoni equivalenti siamo pronti per vedere i teoremi principali!
In questa lezione vedrai:
- Equivalenza parallelogrammi: teorema e dimostrazione sull’equivalenza dei parallelogrammi
- Equivalenza parallelogramma e triangolo: teorema e dimostrazione
- Equivalenza triangolo e trapezio: teorema e dimostrazione
- Equivalenza triangolo e poligono circoscritto a una circonferenza: teorema e dimostrazione del caso del pentagono, generalizzazione del teorema
Prerequisiti per imparare l’equivalenza tra poligoni
I prerequisiti per imparare l’equivalenza tra poligoni sono:
equivalenza di superfici parallelogrammi
triangoli
trapezi
poligoni inscritti e circoscritti.
Trasformazione di un triangolo generico in uno equivalente
Per trasformare un qualunque poligono in un triangolo ad esso equivalente bisogna adottare la seguente prassi.
Si vuol calcolare la superficie del poligono ABCDE.
1) Congiungiamo $\mathrm{E}$ con $\mathrm{C}$ (retta tratteggiata azzurra).
2) Tracciamo la retta parallela a EC passante per D.
3) Prolunghiamo BC dalla parte di C fino ad intersecare la retta passante per D e indichiamo con C’ tale punto d’intersezione.
4) Congiungiamo $\mathrm{E}$ con $\mathrm{C}^{\prime}$
Notiamo che la superficie EDC’ è uguale alla superficie EC’C poiché sono entrambi due triangoli di stessa base (EC’) e di stessa altezza poiché è compresa tra due rette parallele.
Quindi $S_{ECD}=S_{EC’C}$
1) Congiungiamo $\mathrm{E}$ con $\mathrm{B}$.
2) Tracciamo la retta parallela a EB passante per A.
3) Prolunghiamo BC dalla parte di B fino ad intersecare la retta passante per A e indichiamo con B’ tale punto d’intersezione.
4) Congiungiamo E con B’.
Notiamo che la superficie EBB’ è uguale alla superficie AB’B poiché sono entrambi due triangoli di stessa base (BB’) e di stessa altezza poiché è compresa tra due rette parallele.
Un parallelogramma è equivalente a…
Teorema: Se due parallelogrammi hanno congruenti le basi e le altezze corrispondenti, allora sono equivalenti.
Per dimostrare il teorema sovrapponiamo le basi dei due parallelogrammi. Si evidenziano così due triangoli ed un trapezio. I triangoli sono congruenti per le proprietà dei parallelogrammi ed il primo criterio di congruenza. Concludiamo la dimostrazione ragionando sulla differenza di poligoni equivalenti.
Poiché il rettangolo è un particolare parallelogramma, allora vale anche:
Se un parallelogramma e un rettangolo hanno congruenti le basi e le altezze relative, allora sono equivalenti.
Teorema: Un triangolo è equivalente a un parallelogramma che ha altezza congruente a quella del triangolo e base congruente a metà di quella del triangolo.
La dimostrazione completa è in allegato. Sfrutta la definizione di equivalenza e le formule per calcolare l’area di un triangolo ($A= \frac{b \cdot h}{2}$) e di un parallelogramma ($A=b \cdot h$).
Un triangolo è equivalente a…
Teorema: Un trapezio è equivalente a un triangolo se la sua altezza è congruente a quella del triangolo e la somma delle due basi è congruente alla base del triangolo.
La dimostrazione completa è in allegato. Sfrutta la definizione di equivalenza e le formule per calcolare l’area di un triangolo ($A= \frac{b \cdot h}{2}$) e di un trapezio ($A=\frac{(B+b) \cdot h}{2}$).
Teorema: Un poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza
La dimostrazione è costruttiva, colleghiamo ogni vertice del poligono con il centro e ragioniamo sull’equivalenza dei triangoli che abbiamo così ottenuto.
Un caso particolare è quello dei poligoni regolari. Poiché sappiamo che ogni poligono regolare è sempre circoscrivibile a una circonferenza, il teorema diventa:
Un poligono regolare è equivalente a un triangolo che ha base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all’apotema.
Attenzione! L’apotema è il raggio della circonferenza inscritta in un poligono regolare.