PROPOSIZIONE 16
L’area del segmento parabolico è un terzo dell’area del triangolo ABC.
Ci proponiamo di dare una dimostrazione del teorema utilizzando la stessa figura usata da Archimede, ma seguendo un metodo geometrico.
Siano AB e BC divisi in 6 parti uguali e sia il triangolo di colore verde l’unità di misura delle aree.
Il triangolo ABC contiene:
6.(1+3+5+7+9+11) = 6.62 = 63 triangoli verdi.
La figura circoscritta alla parabola (in rosso) ne contiene:
A(cir.) = 6.1 + 5.3 + 4.5 + 3.7 + 2.9 + 1.11 = 91
Tale somma si può scrivere:
A(cir.) = 6 + 11 + 15 + 18 + 20 + 21 , cioè:
6+
6+5+
6+5+4+
6+5+4+3+
6+5+4+3+2
6+5+4+3+2+1
ovvero: A(cir.) = somma dei quadrati dei primi 6 numeri naturali !
In generale, per un qualsiasi numero n di divisioni di AB e BC, risulta:
- Il triangolo ABC contiene n3 triangoli verdi
- An(cir.) = somma dei quadrati dei primi n numeri naturali
Quindi, la figura a denti di sega che circoscrive il segmento parabolico si può esprimere con il “numero piramidale quadrato” della teoria dei numeri !
Per il principio di induzione matematica, questa circostanza ci permette di ridurre la dimostrazione alla semplice verifica della seguente relazione:
o, in maniera equivalente, verificando la convergenza della successione dei rapporti fra le aree:
1, 5/8, 14/27, 30/64, ….., Pn/n3, ….. al numero 1/3, per n tendente a infinito
dove al numeratore dei termini della successione compare l’n-esimo numero piramidale quadrato Pn.
Ma l’area (misurata in triangoli verdi) della figura circoscritta vale un terzo dell’area del triangolo ABC, al limite di n = infinito. C.V.D.
PROPOSIZIONE 17
Conseguenza immediata della proposizione 16 è la proposizione 17 con cui Archimede dimostra il teorema fondamentale sull’area del segmento parabolico (ma impiegando un metodo meccanico):
L’ area del segmento parabolico è 4/3 del triangolo avente stessa base ed uguale altezza.
Essendo infatti, per una proprietà della parabola: LM = MN, risulta:
A(s.p.) = ABC /3 = 4/3 ABM Poiché la proposizione 17 è un corollario della 16, avendo qui dimostrato la 16 per via geometrica, risulterebbe dimostrato per via geometrica anche il teorema fondamentale.