Il volume della sfera è $2 / 3$ di quello di un cilindro avente per base un cerchio massimo della sfera e per altezza il diametro di essa.
Di questo importante risultato di Archimede daremo qui un’altra dimostrazione, seguendo un ragionamento dovuto a Luca Valerio, matematico del 500 molto stimato da Galilei.
Sia dato un cilindro avente base di raggio $r$ ed altezza $r$, e si inscrivano in esso una mezza sfera ed un cono, come in figura.
Consideriamo il cono ed il solido che si ottiene sottraendo la sfera dal cilindro.
Tagliando queste due figure con un piano parallelo alla base, si ottengono due sezioni concentriche: una corona circolare A1 ed un cerchio A.
Il cerchio interno della corona circolare ha per raggio il cateto di un triangolo rettangolo di ipotenusa r ed altro cateto $h$, perciò la sua area è:
$$
A i=\pi \cdot\left(r^2-h^2\right)
$$
L’area del cerchio esterno della corona vale:
$$
\text { A.e }=\pi \cdot r^2
$$
quindi l’area della corona vale:
$$
A_1=A_e-A_i=\pi \cdot r^2-\pi \cdot\left(r^2-h^2\right)=\pi \cdot h^2
$$
ma questo valore coincide con quello dell’area della sezione sul cono:
$$
A 2=\pi \cdot h^2
$$
Questo risultato di uguaglianza vale per tutti i possibili piani sezionanti paralleli alla base delle figure.
Luca Valerio, considerando le figure in confronto come composte dagli infiniti “fogli” di spessore infinitesimo generati dai piani sezionanti, giunge a concludere che i due volumi, essendo composti da fogli di area uguale sono uguali. (1)
Ma il volume del cono è un terzo di quello del cilindro. (2)
Allora il volume della mezza sfera è uguale a due terzi di quello del cilindro.
Raddoppiando si ottiene l’enunciato del teorema che si voleva dimostrare.
In sintesi, questi risultati possono essere detti, con riferimento alla figura schematica qui a fianco (3), nel modo seguente:
I tre volumi: del cono, della sfera e del cilindro, stanno fra loro come i numeri 1.2 e 3.
NOTE
(1) Questo è il metodo degli “indivisibili” introdotto da Bonaventura Cavalieri nel 1635 . Si sa ora, da un ritrovamento su pergamene awenuto nel 1906 ( $v$. Metodo), che questo metodo, che anticipa il calcolo infinitesimale, risaliva ad Archimede. Cavalieri I’ ha semplicemente “riscoperto” dopo ben 1850 anni !
(2) Euclide – Gli elementi – Libro XII – Proposizione 7: Ogni prisma che abbia base triangolare si divide in tre piramidi uguali fra loro aventi basi triangolari.
Con riferimento alla figura, è evidente che: $ABDC = BEDC ; BCED = CFED ; CDFE = CADB$ c.v.d.
Per estendere a cilindro/cono basta considerare il cerchio di base come composto da triangoli. Una composizione può essere ottenuta prendendo i 6 triangoli equilateri dell’esagono ed aggiungendo i triangoli perimetrali che formano successivamente i poligoni di $12,24,48$, ecc. lati, all’infinito.
Si ha quindi, per il teorema precedente, che $1 / 3$ del volume del cilindro risulta composto dalle piramidi aventi per base i triangoli che compongono la base del cilindro e altezze uguali a quella del cilindro. Ma l’insieme di queste piramidi equivale al un cono avente la stessa base del cilindro ed uguale altezza.
(3) Si dice che Archimede volesse incisa sulla sua pietra tombale una figura simile, a ricordo della sua grande scoperta. E si dice che questa volontà fu fatta eseguire dal console Marcello. Cicerone racconta che al tempo in cui era questore in Sicilia, la curiosità lo spinse a cercare la tomba di Archimede, e trovandosi un giorno fuori della porta di Siracusa, vide tra altre tombe una colonna con su incisa la figura di una sfera ed un cilindro. Fatto sgombrare il sito dagli sterpi riconobbe, dalle iscrizioni corrose dal tempo, che quella era proprio la tomba di Archimede che cercava.