Soluzioni Seconda prova scritta Matematica 2012 – Liceo Scientifico di ordinamento sessione ordinaria

PROBLEMA 1

Siano f e g le funzioni definite, per tutti gli x reali, da

f(x)=|27x3| e g(x)=sen(32πx)

  1. Qual è il periodo della funzione g ? Si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici Gf e Gg in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy.
  2. Si scrivano le equazioni delle rette r e s tangenti, rispettivamente, a Gf e a Gg nel punto di ascissa x=13. Qual è l’ampiezza, in gradi e primi sessagesimali, dell’angolo acuto formato da r e da s ?
  3. Sia R la regione delimitata da Gf e da Gg. Si calcoli l’area di R .
  4. La regione R , ruotando attorno all’asse x, genera il solido S e , ruotando attorno all’asse y, il solido T. Si scrivano, spiegandone il perchè, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T .

SOLUZIONE PROBLEMA 1

Punto 1.

Il periodo della funzione g(x)=sen(32πx) è T=2π32π=43.

  • Studio della funzione: f(x)=|27x3|

Dominio:

Simmetrie notevoli: f(x)=|27x3|=f(x), la funzione è pari.

Segno: f(x)>0:|27x3|>0x0

Intersezioni con gli assi: Assi x e y:(0;0)

Limiti e asintoti: limxf(x)=+ (non ci sono asintoti obliqui, essendo m=limxf(x)x= ).

Studio della derivata prima per x0:f(x)=81x2

Punti stazionari: f(x)=0 per x=0

Intervalli di crescenza: f(x)>0 se x0
x=0 è un punto di minimo assoluto

Studio della derivata seconda per x>0 : f(x)=162x

La funzione è convessa per ogni x>0.

  • Studio della funzione: g(x)=sen(32πx)

Dominio: R

Simmetrie notevoli: f(x)=f(x), la funzione è dispari

Segno: f(x)>0 per 0+43k<x<23+43k,kZ
Intersezioni con asse x:(0+23k;0),kZ

Massimi e minimi:
Massimi in (13+43k;1),kZ
minimi in (1+43k;1),kZ

Punto 2.

Il punto di ascissa x=13 ha ordinata f(13)=|27127|=1. La retta r tangente a Gf in (13;1), di coefficiente angolare mr=f(13)=8119=9, ha equazione y1=9(x13).

r:y=9x2

Il punto di ascissa x=13 ha ordinata g(13)=sen(32π13)=sen(π2)=1. La retta s tangente a Gg in (13;1) ha coefficiente angolare ms=g(13)=32πcos(32π13)=0, quindi è parallela all’asse x. s: y=1

L’angolo acuto α formato da r ed s è tale che: tgα=|mrms1+mrms|=901+0=9, per cui α=arctg(9)83,6598

L’ampiezza dell’angolo acuto formato dalle due rette è 833935.

Punto 3

Poiché le due funzioni si intersecano in A(13;1), l’area richiesta coincide con l’integrale da 0 a 13 della differenza tra Gg e Gf, quindi:

R=013(sen(32πx)27x3)dx=[23πcos(32πx)27x44]013=23πcos(32π13)+23π2718114=
23π0+23π112==8π12π0,13

Punto 4

Il volume del solido che si ottiene facendo ruotare R attorno all’asse x è dato dall’integrale definito

S=π013(sen2(32πx)729x6)dx

Il volume del solido che si ottiene facendo ruotare R attorno all’asse y è dato dall’integrale definito calcolabile attraverso il “metodo dei gusci cilindrici”:

T=2π013(xg(x)xf(x))dxT=2π013(xsen(32πx)27x4)dx

PROBLEMA 2

Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy sono assegnati l’arco di circonferenza di centro O e estremi A(3,0) e B(0,3) e l’arco L della parabola d’equazione x2=96y i cui estremi sono il punto A e il punto (0,3/2).

  1. Sia r la retta tangente in A a L . Si calcoli l’area di ciascuna delle due parti in cui r divide la regione R racchiusa tra L e l’arco AB .
  2. La regione R è la base di un solido W le cui sezioni, ottenute tagliando W con piani perpendicolari all’asse x, hanno, per ogni 0x3, area S(x)=e53x. Si determini il volume di W .
  3. Si calcoli il volume del solido ottenuto dalla rotazione di R intorno all’asse x.
  4. Si provi che l’arco L è il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti intemamente all’ arco AB e all’asse x. Infine, tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri si determini quella che risulta tangente anche all’arco di circonferenza di centro A e raggio 3, come nella figura a lato.

SOLUZIONE PROBLEMA 2

Punto 1

La circonferenza di centro O e passante per A e B ha equazione x2+y2=9, quindi l’arco di circonferenza situato nel I quadrante ha equazione y=9x2, con 0x3.

La retta r passante per A(3;0) e tangente all’arco della parabola di equazione y=16x2+32 ha coefficiente angolare m=f(3)=133=1.

L’equazione della tangente a L in A è: y0=1(x3)

r:y=x+3

L’area del segmento circolare compreso tra l’arco di circonferenza e la retta r vale:

A1=9π492=9π1842,57

L’area della parte di piano compresa tra la retta r e l’arco L di parabola vale:

A2=92236322=923=32

Punto 2.

Il volume del solido W vale:

W=03S(x)dx=03e53xdx=

=13[e53x]03=13(e4e5)=

=e5e4349,46

Punto 3

Il volume del solido ottenuto dalla rotazione di R intorno all’asse x è:

V=π03[(9x2)2(9x26)2]dx=π03(9x281+x418x236)dx=

=π03(32436x281x4+18x236)dx=π03(x418x2+24336)dx=

=π03(136x412x2+274)dx=π2[118x55x33+272x]03=

=π2(1182435273+27230)=π2(27109+812)=

=π2(2790+40510)=π21445=725π45,24

Punto 4

Sia P un generico punto appartenente all’arco L, di coordinate: P(α;16α2+32), con 0α3. Sia H(α;0), con 0α3, la sua proiezione sull’asse delle ascisse.

Se l’arco L rappresenta il luogo dei centri delle circonferenze tangenti all’asse x e all’arco AB di circonferenza, deve essere PH=PK.

Si ha:

PH=16α2+32

PK=OKOP=3α2+(16α2+32)2=3α2+136α4+9412α2

PH=PK16α2+32=3α2+136α4+9412α2

da cui

α2+136α4+9412α2=16α2+32

Elevando ambo i membri al quadrato si ha 136α4+94+12α2=136α4+94+12α2,cvd.

Essendo i due archi di circonferenza considerati simmetrici rispetto alla retta di equazione x=32, il centro della circonferenza tangente ai due archi e all’asse delle ascisse ha coordinate C(32;1694+32)=(32;98)

La circonferenza richiesta ha equazione (x32)2+(y98)2=8164, ossia

4x2+4y212x9y+9=0

QUESITO 1

  1. Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore?

limh05(12+h)45(12)4h

Soluzione quesito 1

Il limite proposto rappresenta il limite del rapporto incrementale della funzione f(x)=5x4 nel punto x0=12.

Poiché, come noto, f(x)=20x3 il valore di tale limite e’ f(12)=208=52.

Naturalmente il limite, che si presenta nella forma indeterminata 00, può anche essere calcolato direttamente mediante qualche opportuna riduzione:

limh05[(12+h)2+(12)2][(12+h)2(12)2]h=

limh05[(12+h)2+(12)2][12+h+12][12+h12]h=

limh05[(12+h)2+14][1+h][h]h=

limh05[(12+h)2+14]{1+h]=5(14+14)=52

OUESITO 2

  1. Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione f(x) il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali.

Soluzione quesito 2

Il termine asintoto (dal greco a-sym-ptōtos, con a – valore privativo, sym-, “con”, e ptōtos, aggettivo che connota “ciò che cade” – sym-ptōtos descrive ciò che “cade assieme”, ovvero ciò che “interseca”, e a-sym-ptōtos etimologicamente descrive “ciò che non interseca”) è utilizzato per denotare una retta a cui “si avvicina indefinitamente” una funzione data. Si dice che una retta è asintoto per la funzione f se, comunque si fissi una distanza minima, esiste un tratto non limitato di f che dista dall’asintoto meno della distanza minima fissata.

In particolare,

Si dice che la retta x=c è asintoto verticale per la funzione y=f(x) se c è un punto singolare in cui si ha:

limxcf(x)= oppure limxc+f(x)=

Si dice che la retta y=l è asintoto orizzontale per la funzione y=f(x) se si verifica almeno una delle seguenti condizioni:

limxf(x)=l oppure limx+f(x)=l

Si dice che la retta y=mx+q è asintoto obliquo per la funzione y=f(x) se si verificano le seguenti condizioni:

I. limxf(x)=

II. esiste ed è finito e non nullo: limxf(x)x=m(m0)

III. esiste ed è finito: limx[f(x)mx]=q

Ad esempio, la funzione f(x)=2x2x21 presenta:

  • due asintoti verticali di equazioni x=1 e x=1
  • un asintoto orizzontale di equazione y=2.


SOS Matematica

4.6
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