PROBLEMA 1
Siano
- Qual è il periodo della funzione
? Si studino e e se ne disegnino i rispettivi grafici e in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy. - Si scrivano le equazioni delle rette
e tangenti, rispettivamente, a e a nel punto di ascissa . Qual è l’ampiezza, in gradi e primi sessagesimali, dell’angolo acuto formato da e da ? - Sia R la regione delimitata da
e da . Si calcoli l’area di R . - La regione R , ruotando attorno all’asse
, genera il solido S e , ruotando attorno all’asse , il solido T. Si scrivano, spiegandone il perchè, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T .
SOLUZIONE PROBLEMA 1
Punto 1.
Il periodo della funzione
- Studio della funzione:
Dominio:
Simmetrie notevoli:
Segno:
Intersezioni con gli assi: Assi
Limiti e asintoti:
Studio della derivata prima per
Punti stazionari:
Intervalli di crescenza:
Studio della derivata seconda per
La funzione è convessa per ogni
- Studio della funzione:
Dominio:
Simmetrie notevoli:
Segno:
Intersezioni con asse
Massimi e minimi:
Massimi in
minimi in
Punto 2.
Il punto di ascissa
Il punto di ascissa
L’angolo acuto
L’ampiezza dell’angolo acuto formato dalle due rette è
Punto 3
Poiché le due funzioni si intersecano in
Punto 4
Il volume del solido che si ottiene facendo ruotare
Il volume del solido che si ottiene facendo ruotare
PROBLEMA 2
Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy sono assegnati l’arco di circonferenza di centro O e estremi
- Sia
la retta tangente in A a L . Si calcoli l’area di ciascuna delle due parti in cui divide la regione R racchiusa tra L e l’arco AB . - La regione R è la base di un solido W le cui sezioni, ottenute tagliando W con piani perpendicolari all’asse
, hanno, per ogni , area . Si determini il volume di W . - Si calcoli il volume del solido ottenuto dalla rotazione di R intorno all’asse
. - Si provi che l’arco L è il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti intemamente all’ arco AB e all’asse
. Infine, tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri si determini quella che risulta tangente anche all’arco di circonferenza di centro A e raggio 3, come nella figura a lato.
SOLUZIONE PROBLEMA 2
Punto 1
La circonferenza di centro
La retta
L’equazione della tangente a
L’area del segmento circolare compreso tra l’arco di circonferenza e la retta
L’area della parte di piano compresa tra la retta
Punto 2.
Il volume del solido
Punto 3
Il volume del solido ottenuto dalla rotazione di
Punto 4
Sia
Se l’arco
Si ha:
da cui
Elevando ambo i membri al quadrato si ha
Essendo i due archi di circonferenza considerati simmetrici rispetto alla retta di equazione
La circonferenza richiesta ha equazione
QUESITO 1
- Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore?
Soluzione quesito 1
Il limite proposto rappresenta il limite del rapporto incrementale della funzione
Poiché, come noto,
Naturalmente il limite, che si presenta nella forma indeterminata
OUESITO 2
- Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione
il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali.
Soluzione quesito 2
Il termine asintoto (dal greco
In particolare,
Si dice che la retta
Si dice che la retta
Si dice che la retta
I.
II. esiste ed è finito e non nullo:
III. esiste ed è finito:
Ad esempio, la funzione
- due asintoti verticali di equazioni
e - un asintoto orizzontale di equazione
.