PROBLEMA 1
Si considerino le funzioni
- Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano
, si studino e e se ne disegnino i rispettivi grafici e . - Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di
con la retta . Successivamente, si considerino i punti di a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell’intervallo [-6;6] e se ne indichino le coordinate. - Sia R la regione del piano delimitata da
e sull’intervallo [0;2]. Si calcoli l’area di R . - La regione R rappresenta la superficie libera dell’acqua contenuta in una vasca. In ogni punto di R a distanza
dall’asse la misura della profondità dell’acqua nella vasca è data da . Quale integrale definito dà il volume dell’acqua? Supposte le misure in metri, quanti litri di acqua contiene la vasca?
SOLUZIONE PROBLEMA 1
Punto 1.
Dominio:
Simmetria:
Intersezione con gli assi coordinati:
Asse
Asse
Segno:
Limiti:
Massimi, minimi, flessi:
MASSIMO
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![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/p.2-1024x482.png)
Dominio:
Simmetrie: funzione dispari
Intersezioni con l’asse
Segno:
Massimi
Punto 2.
Intersezioni di
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/f.2-1024x526.png)
Punti di
In particolare, con
Punto 3.
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/f.4-1024x773.png)
L’area richiesta si calcola attraverso un integrale definito.
L’area richiesta vale 4.
Punto 4.
Le sezioni della massa d’acqua condotte con piani perpendicolari all’asse
Il volume richiesto è dato dal calcolo del seguente integrale definito (“metodo delle fette”):
Calcoliamo dapprima:
si ha:
Tornando al calcolo del volume, si ottiene:
Il risultato è in
PROBLEMA 2
Sia
dove
- Si provi che
e . - Si studi su
la funzione e se ne tracci il grafico nel sistema di riferimento . - Si calcoli l’area della regione di piano del primo quadrante delimitata da
, dall’asse e dalla retta . - Il profitto di una azienda, in milioni di euro, è stato rappresentato nella tabella sottostante designando con
l’anno di osservazione e con il corrispondente profitto.
Si cerca una funzione che spieghi il fenomeno dell’andamento del profitto giudicando accettabile una funzione
SOLUZIONE PROBLEMA 1
Punto 1.
Se la funzione ammette un massimo nel punto di ascissa 4 significa che
Calcolo la derivata della funzione:
Imposto il sistema:
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/eq.png)
Punto 2.
Studio della funzione:
Dominio:
Simmetrie notevoli:
Segno: non si riesce a risolvere la disequazione
Intersezioni con gli assi coordinati
Asse
Asse
Limiti, asintoti e continuità:
Dunque
La funzione è continua in
Studio della derivata prima:
Il dominio della derivata prima è
Punti stazionari:
Intervalli di crescenza:
Dunque
A questo punto possiamo dedurre informazioni riguardo il segno della funzione: essa incontra l’asse
Studio della derivata seconda:
In
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/g1-1-1024x531.png)
Punto 3.
L’asintoto orizzontale
L’area da calcolare equivale a:
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Calcolando l’integrale indefinito
si ha:
Tornando all’integrale definito, l’area richiesta vale:
Punto 4.
Verifichiamo che:
Infatti, con l’uso della calcolatrice, si ottiene:
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/tab-1024x502.png)
I valori dell’ultima colonna sono tutti inferiori a 0,1 . Quindi la funzione
L’evoluzione del profitto – approssimato tramite la funzione – potrà anche portare a profitti inferiori a 3 milioni di euro.
Il fatto è che la funzione è accettata come “buona” perchè approssima il profitto a meno di
QUESITO 1
Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm . Quale è la capacità in litri del serbatoio?
Soluzione quesito 1
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Raggio della sfera
Sia
Per il Teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo AOH , si ha:
Per trovare il cilindro di capacità massima, si studia il segno della derivata prima:
Si ha il massimo per
Il cilindro di volume massimo ha raggio
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QUESITO 2
Si trovi il punto della curva
Soluzione quesito 2
Sia
Consideriamo la funzione
Il punto della curva più vicino ad
La funzione
Questa, essendo una parabola con la concavità rivolta verso l’alto, è minima per
Dunque il punto della curva
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QUESITO 3
Sia
Soluzione quesito 3
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q.3-1-1024x623.png)
Il volume del solido di rotazione richiesto si può ottenere come differenza tra il volume del cilindro (di raggio di base pari a 2 e altezza pari a 8 ) e il volume del solido di rotazione ottenuto dalla parte di funzione
Si ha:
QUESITO 4
Il numero delle combinazioni di
Soluzione quesito 4
Il problema può essere tradotto dall’equazione
Tenendo conto che
Semplificando,
Osservazione: il quesito poteva essere risolto anche utilizzando la Legge delle classi complementari
QUESITO 5
Si trovi l’area della regione delimitata dalla curva
Soluzione quesito 5
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L’area richiesta è data dalla somma dei due integrali definiti (uno positivo e l’altro negativo):
QUESITO 6
Si calcoli
Soluzione quesito 6
Ponendo
usando le formule di addizione della tangente si ha:
(Noto che, per il limite notevole, si ha
QUESITO 7
Si provi che l’equazione:
Soluzione quesito 7
La funzione
Per il Teorema di esistenza degli zeri (o Teorema di Bolzano) ammette all’interno dell’intervallo
Inoltre,
QUESITO 8
In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perchè è così spesso citato?
Soluzione quesito 8
Il problema della quadratura del cerchio richiede che dato un cerchio di raggio
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Poiché il lato del quadrato che si vuole costruire deve avere lunghezza pari a
E’ un problema citato spesso, insieme al problema della duplicazione del cubo (si tratta di costruire con riga e compasso lo spigolo di un cubo che abbia volume doppio di un cubo dato) e al problema della trisezione dell’angolo (che richiede, dato un qualsiasi angolo
QUESITO 9
Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa.
Soluzione quesito 9
GEOMETRICAMENTE (da preferire)
Il luogo dei punti dello spazio equidistanti da due punti è il piano perpendicolare al segmento che ha per estremi quei due punti e passante per il suo punto medio.
L’intersezione dei 3 piani equidistanti dai punti A , B e C (vertici di un triangolo rettangolo ABC ) è perciò la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il suo circocentro (che si trova nel punto medio dell’ipotenusa).
GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO (non in programma)
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Sia
Un qualsiasi punto
La formula della distanza tra due punti
quindi
Quindi
Ma è vero anche il viceversa. Se
Quindi questa retta è il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da
QUESITO 10
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Soluzione quesito 10
La risposta corretta è la D :
Sia
La funzione è crescente per
Dunque