Soluzioni Seconda prova scritta Matematica 2009 – Liceo Scientifico di ordinamento sessione ordinaria

PROBLEMA 1

È assegnato il settore circolare AOB di raggio r e ampiezza x(r e x sono misurati, rispettivamente, in metri e radianti).

  1. Si provi che l’area S compresa fra l’arco e la corda AB è espressa, in funzione di x, da S(x)=12r2(xsenx) con x[0,2π].
  2. Si studi come varia S(x) e se ne disegni il grafico (avendo posto r=1 ).
  3. Si fissi l’area del settore AOB pari a 100 m2. Si trovi il valore di r per il quale è minimo il perimetro di AOB e si esprima il corrispondente valore di x in gradi sessagesimali (è sufficiente l’approssimazione al grado).
  4. Sia r=2 e x=π3. Il settore AOB è la base di un solido W le cui sezioni ottenute con piani ortogonali ad OB sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di W.

Soluzione problema 1

Punto 1

L’area del triangolo OAB settore circolare è data da:

 Area (OAB)=rrsinx2=12r2sinx

L’area del settore circolare, indicando con l la misura dell’arco AB, è

 Area ( settore circolare )=lr2=r2x2

Quindi l’area S del segmento circolare compreso tra l’arco e la corda è data da

S(x)=12r2x12r2sinx=12r2(xsinx)

con x[0,2π]

Punto 2

Se si pone, come richiesto, r=1 allora la funzione che si ottiene è la seguente:

S(x)=12(xsinx) con x[0,2π]

Il grafico della funzione si può ottenere pensandola come differenza di due funzioni elementari e poi dividendo a metà le ordinate.

Ci viene assegnato il dominio [0,2π].La funzione è derivabile (e quindi continua) per ogni x.

La funzione è non negativa per ogni x[0,2π].

Si ha S(0)=0 ed S(2π)=π.

La derivata prima è S(x)=12(1cosx) che è positiva per ogni x]0,2π] e nulla in x=0 e in x=2π.

Si vede facilmente che tali punti sono punti di flesso con tangente parallela all’asse x.

Ricavando la derivata seconda, si ottiene S(x)=12sinx.

Si ha ovviamente S(x)0 se x[0,π].

In tale intervallo la funzione è convessa. S(x)=0 per x=0,x=π e x=2π.

Si tratta di tre flessi; x=0 e x=2π sono flessi a tangente parallela all’asse x.

Nel punto x=π, la derivata prima vale S(π)=1.

Quindi, in tale punto di flesso F(π,π2) la tangente è parallela alla bisettrice del primo quadrante.

PUNTO 3.

Asettore circolare АОВ =12r2α=100m2 sia r=x(x>0)α=200x2(Crf=2πx)

AB:Crf=α:2πAB=2πxα2π=xα=x200x2=200x

perimetro settore circolare AOB=2x+AB=2x+200x

perimetro minimo?

y=2x+200xy=2200x2y>02x2200x2>0x<10x>10

Perimetro minimo per x=r=10 m

α=200100=2 radianti 

2:x=π:180x=360π114,6

PUNTO 4.

OA=OB=2,AOAB=π3 O(0;0),B(2;0),A(1;3)

Equazione della retta r passante per O e per A: y=3x

Equazione dell’arco di circonferenza passante per A e per B: y=4x2

W=01(3x)2dx+12(4x2)2dx=013x2dx+12(4x2)dx=

=[x3]01+[4xx33]12=1+8834+13=573=83

PROBLEMA 1

Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche, si tracci il grafico Gf della funzione f(x)=logx (logaritmo naturale)

  1. Sia A il punto d’intersezione con l’asse y della tangente a Gf in un suo punto P. Sia B il punto d’intersezione con l’asse y della parallela per P all’asse x. Si dimostri che, qualsiasi sia P, il segmento AB ha lunghezza costante. Vale la stessa proprietà per il grafico Gg della funzione g(x)=logax con a reale positivo diverso da 1 ?
  2. Sia δ l’inclinazione sull’asse x della retta tangente a Gg nel suo punto di ascissa 1 . Per quale valore della base a è δ=45 ? E per quale valore di a è δ=135 ?
  3. Sia D la regione del primo quadrante delimitata dagli assi coordinati, da Gf e dalla retta d’equazione y=1. Si calcoli l’area di D.
  4. Si calcoli il volume del solido generato da D nella rotazione completa attorno alla retta d’equazione x=1.

Soluzione problema 1

Punto 1

Tracciamo il grafico Gf della funzione f(x)=lnx (logaritmo naturale di x ).

Consideriamo un punto generico P(t,lnt), appartenente al grafico della funzione; quindi t è un numero reale positivo.

Poiché f(x)=1x, il coefficiente angolare della retta tangente nel punto P al grafico della funzione f(x) sarà m=f(t)=1t.

La retta tangente a Gf nel punto P avrà per equazione: ylnt=1t(xt).

Intersecando con l’asse y, si ottiene il punto A(0;1+lnt).

La retta per P parallela all’asse x ha per equazione y=lnt.

Intersecando con l’asse y si ottiene il punto B(0;lnt).

Quindi la misura del segmento AB, sarà data da:

AB=|yByA|=|lnt(lnt1)|=1 per ogni t reale positivo.

Quindi nel caso della funzione f(x)=lnx, il segmento AB ha lunghezza costante (vale 1).

Supponiamo ora che la funzione sia g(x)=logax.

Ci sono due casi, a seconda che a>1 oppure 0<a<1, rappresentati nelle seguenti figure.

Consideriamo il generico punto del grafico Gg.

In questo caso si ha:

g(x)=1xlogae.

La retta tangente al grafico Gg nel punto P(t,logat) ha coefficiente angolare g(t)=1tlogae.

La retta tangente ha quindi equazione ylogat=(1tlogae)(xt).

Intersecando con l’asse y si ottiene pertanto:

y=logatlogae

Il punto A ha quindi coordinate A(0;logatlogae). Il punto B ha coordinate B(0;logat).

Pertanto il segmento AB misura:

AB=|yByA|=|logat(logatlogae)|=|logae|=1|lna|

La lunghezza del segmento AB è quindi costante per ogni base a dei logaritmi (a>0 e a1).

Punto 2

Sia δ l’angolo formato dalla retta tangente al grafico Gg nel suo punto A(1,0) di ascissa 1.

Si ha m=g(1)=1lna=tanδ

Se δ=45, allora 1lna=1, ovvero a=e e la funzione è f(x)=lnx (logaritmo naturale).

Se δ=135, allora 1lna=1, ossia lna=1. Si ha quindi a=e1=1e e la funzione è g(x)=log1ex=ln(x)1=lnx

Punto 3

Dalla figura 5 si osserva che basta togliere da un rettangolo di base e e altezza 1 l’area del trapezoide T formato da logaritmo naturale con lasse x. Si ottiene:

Area(D)=Area(R)Area(T)=e1elnxdx=e[xlnxx]1e=e1

Un modo più facile di determinare l’area del dominio D fa uso di una simmetria della figura rispetto alla bisettrice del I quadrante. Si ottiene la figura 6 seguente.

Pertanto l’area del dominio D simmetrico di D rispetto alla retta y=x, è:

Area(D)=Area(D)=01exdx=[ex]01=e1

Punto 4

Consideriamo come nuovo asse y la retta di equazione x=1, operando una traslazione di assi coordinati, in modo che l’origine diventi il punto O(1,0).

Rispetto a questo nuovo sistema di assi cartesiani, la curva logaritmica assume equazione y=ln(x1).

La sua funzione inversa avrà per equazione x=ey+1.

Il volume W si ottiene come differenza tra il volume di un solido di rotazione generato dalla curva x=ey+1 attorno al nuovo asse y e un cilindro di raggio 1 e altezza 1 , che avrà quindi volume π.
Si ottiene pertanto

V=V1V2.

Il volume del solido di rotazione è il seguente:

V1=π01(ey+1)2dy=π01(e2y+2ey+1)dy=π[12e2y+2ey+y]01

da cui si ottiene

V1=π[12e2+2e+1(12+2)]=π(12e2+2e32)

Togliendo il volume del cilindro, si ha

W=π(12e2+2e32)π=π(12e2+2e52)

QUESITO 1

Si trovi la funzione f(x) la cui derivata è sen x e il cui grafico passa per il punto (0,2).

Soluzione quesito 1

Occorre trovare la generica primitiva di sen x, che è

sinxdx=cosx+c

e imporre il passaggio per il punto (0,2).

Si trova 1+c=2 e quindi c=3.

La funzione richiesta è pertanto f(x)=cosx+3. Il grafico della funzione è il seguente.

QUESITO 2

Sono dati gli insiemi A=1,2,3,4 e B=a,b,c. Tra le possibili applicazioni (o funzioni) di A in B, ce ne sono di suriettive? Di iniettive? Di biiettive?

Soluzione quesito 2

La formulazione del quesito è molto generica.

La definizione di funzione non era richiesta, ma conviene richiamarla: una funzione f di A in B è una “legge” che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.

Volendo eliminare l’ambiguo termine “legge”, si potrebbe definire una funzione in termini di teoria degli insiemi:

una funzione f da A a B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB tale che per ogni x appartenente ad A esiste uno ed un solo y appartenente a B per il quale la coppia ( x,y ) appartiene ad f.

Le funzioni che si possono costruire tra gli insiemi A e B sono in tutto 34=81.

Tra queste ce ne sono di suriettive, ad esempio quella che a 1 fa corrispondere a, a 2 fa corrispondere b, a 3 fa corrispondere c e a 4 fa corrispondere ancora c.

Non si possono costruire funzioni iniettive, perché il numero di elementi di B è minore del numero di elementi di A.

Quindi non si possono costruire nemmeno funzioni biiettive tra A e B.

QUESITO 3

Per quale o quali valori di k la curva di equazione y=x3+kx2+3x4 ha una sola tangente orizzontale?

Soluzione quesito 3

La famiglia di curve date sono tutte derivabili, e quindi continue, sui reali, perché si tratta di funzioni polinomiali.

Gli eventuali punti a tangente “orizzontale” si determinano quindi calcolando i punti in cui la derivata prima si annulla.

Questi punti possono essere massimi relativi, minimi relativi o flessi con tangente “orizzontale”.

La derivata prima è:

f(x)=3x2+2kx+3

Si tratta ovviamente di una famiglia di parabole.

Occorre imporre che si annulli una sola volta e questo si ha solo se Δ4=k29=0, ovvero per k=±3.

QUESITO 4

“Esiste un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta.

Soluzione quesito 4

Prima di tutto le facce devono essere poligoni regolari tutti congruenti tra loro.

L’affermazione è sbagliata perché si riferisce ad esagoni generici.

L’affermazione è falsa perché esistono solo cinque tipi di poliedri regolari, che hanno per facce triangoli equilateri (tetraedro regolare, ottaedro regolare e icosaedro regolare), quadrati (solo il cubo o esaedro regolare) o pentagoni regolari (il dodecaedro regolare).

Non può esistere un poliedro regolare con le facce a forma di esagono regolare perché in ogni vertice di un poliedro convergono come minimo tre facce e la somma degli angoli deve essere minore di un angolo giro.

Per un esagono regolare tale somma vale un angolo giro.

QUESITO 5

Si considerino le seguenti espressioni

01;00;10;00

A quali di esse è possibile attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta.

Soluzione quesito 5

Ragioniamo nell’insieme dei numeri reali, con le operazioni solite (addizione e moltiplicazione).

La prima espressione 01 ha significato e il risultato è ovviamente 0.

La seconda espressione 00 non ha significato, perché se si decidesse di dare un significato a questa espressione, in base alla definizione di divisione, il risultato sarebbe un qualunque numero reale.

Dal momento che il risultato di un’operazione deve essere unico, non si accetta questa divisione. Nella teoria dei limiti di funzioni reali di variabile reale (o delle successioni) questo simbolo lo si accetta per alludere alla forma indeterminata omonima (limite del rapporto tra due funzioni infinitesime).

Il terzo simbolo 10 non ha significato e non è possibile dare un significato a questa scrittura.

Dovrebbe esistere infatti un numero che moltiplicato per 0 dia come risultato 1 , il che è impossibile. Nella teoria dei limiti di funzione reale di una variabile reale (o delle successioni) l’espressione 10 allude ad uno dei casi che si presenta nel limite del rapporto; questo limite è + oppure .

Anche all’ultima espressione ( 0 ) non è possibile dare alcun significato; è un’espressione alla quale non si attribuisce significato.

Nella teoria dei limiti di funzione reale di una variabile reale (o delle successioni) rappresenta una forma indeterminata riconducibile alla forma indeterminata ” 0 ” utilizzando la definizione di logaritmo.

QUESITO 6

Si calcoli: limxx2+1x.

Soluzione quesito 6

Questo limite si presenta nella forma indeterminata .

Per risolverlo, conviene raccogliere sotto la radice il termine x2, ottenendo:

limxx2+1x=limxx2(1+1x2)x=limx|x|1+1x2x

Il passaggio più difficile è proprio questo, ovvero scrivere un valore assoluto!

Poiché x, non è restrittivo supporre che x<0. Si ottiene pertanto che |x|=x.
Sostituendo e semplificando:

limx|x|1+1x2x=limxx1+1x2x=limx1+1x2=1.

Quindi

limxx2+1x=1

Se si tenta di risolvere questo limite con la regola di De L’Hospital, si ottiene:

limxx2+1xnH=limx2x2x2+11=limxxx2+1

e si ripresenta, inverso, con la stessa forma di indeterminazione. In questo limite la regola di De L’Hospital è inefficace.

QUESITO 7

Si dimostri l’identità

(nk+1)=(nk)nkk+1

Soluzione quesito 7

Si ha

(nk)nkk+1=n(n1)..(nk+1)k!nkk+1

Quindi, raggruppando in modo diverso:

(nk)nkk+1=n(n1).(nk+1)(nk)(k+1)k!

Quest’ultima espressione – ricordando che (k+1)k!=(k+1)! – non è altro che (nk+1).

QUESITO 8

Si provi che l’equazione

x2009+2009x+1=0

ha una sola radice compresa tra -1 e 0.

Soluzione quesito 8

Consideriamo la funzione polinomiale f(x)=x2009+2009x+1.

Questa funzione è ovviamente derivabile e quindi continua nell’insieme dei reali.

La derivata prima è la seguente:

f(x)=2009x2008+2009

sempre positiva.

Quindi f(x) è strettamente crescente nei reali e a maggior ragione nell’intervallo chiuso [1,0].

Si ha inoltre f(1)<0 ed f(0)>0.

Per il teorema degli zeri delle funzioni continue definite su un intervallo chiuso e poiché f(x) è strettamente crescente, il polinomio ammette una ed una sola radice reale (in tutto il suo dominio), compresa strettamente tra -1 e 0.

QUESITO 9

Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due muove scienze”, Galileo Galilei descrive la costruzione di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio r e il cilindro ad essa circoscritto. La scodella si ottiene togliendo la semisfera dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di Cavalieri, che la scodella ha volume pari al cono di vertice V in figura.

Soluzione quesito 9

Sia r il raggio della sfera. Si considera un piano parallelo al piano di base del cilindro a distanza x dal vertice del cono.

Questo piano seziona la semisfera secondo un cerchio di area:

Areacerchiosezionesemisfera=π(r2x2).

Il piano seziona la scodella secondo la corona circolare di area:

Areacoronacircolaresezionescodella=πr2π(r2x2)=πx2.

Sezioniamo ora il cono con lo stesso piano (parallelo al piano di base, a distanza x da vertice).

Si ottiene ovviamente un cerchio di raggio x, che ha area:

Areacerchiosezionecono=πx2.

Pertanto, per ogni piano parallelo alla base della scodella, la sezione della scodella e la sezione del cono hanno la stessa area.

Pertanto il volume della scodella è uguale al volume del cono per il principio di Cavalieri.

Si conclude che il volume dell’ “antiscodella” – cioè quello della semisfera – è lo stesso del volume dell’ “anticono”, ovvero V=23πr3.

Quindi il volume della sfera è

Vsfera=2Vantiscodella=43πr3

QUESITO 10

Si determini il periodo della funzione f(x)=cos5x.

Soluzione quesito 10

Il quesito è estremamente facile e la risposta è

T=2πω=2π5

A rigore, interpretando il testo (“si determini”), non occorreva scrivere altro.

Il grafico è il seguente:


    SOS Matematica

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