PROBLEMA 1
È assegnato il settore circolare
- Si provi che l’area
compresa fra l’arco e la corda è espressa, in funzione di , da con . - Si studi come varia
e se ne disegni il grafico (avendo posto ). - Si fissi l’area del settore
pari a . Si trovi il valore di per il quale è minimo il perimetro di e si esprima il corrispondente valore di in gradi sessagesimali (è sufficiente l’approssimazione al grado). - Sia
e . Il settore AOB è la base di un solido le cui sezioni ottenute con piani ortogonali ad sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di .
Soluzione problema 1
Punto 1
L’area del triangolo
L’area del settore circolare, indicando con
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig1.png)
Quindi l’area
con
Punto 2
Se si pone, come richiesto,
Il grafico della funzione si può ottenere pensandola come differenza di due funzioni elementari e poi dividendo a metà le ordinate.
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/p2-1024x603.png)
Ci viene assegnato il dominio
La funzione è non negativa per ogni
Si ha
La derivata prima è
Si vede facilmente che tali punti sono punti di flesso con tangente parallela all’asse
Ricavando la derivata seconda, si ottiene
Si ha ovviamente
In tale intervallo la funzione è convessa.
Si tratta di tre flessi;
Nel punto
Quindi, in tale punto di flesso
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/p3-1024x589.png)
PUNTO 3.
perimetro
perimetro minimo?
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/p4-1024x426.png)
Perimetro minimo per
PUNTO 4.
Equazione della retta
Equazione dell’arco di circonferenza passante per A e per B:
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/p5.png)
PROBLEMA 1
Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche, si tracci il grafico
- Sia
il punto d’intersezione con l’asse della tangente a in un suo punto . Sia il punto d’intersezione con l’asse della parallela per all’asse . Si dimostri che, qualsiasi sia , il segmento ha lunghezza costante. Vale la stessa proprietà per il grafico della funzione con reale positivo diverso da 1 ? - Sia
l’inclinazione sull’asse della retta tangente a nel suo punto di ascissa 1 . Per quale valore della base è ? E per quale valore di è ? - Sia
la regione del primo quadrante delimitata dagli assi coordinati, da e dalla retta d’equazione . Si calcoli l’area di . - Si calcoli il volume del solido generato da
nella rotazione completa attorno alla retta d’equazione .
Soluzione problema 1
Punto 1
Tracciamo il grafico
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q2-1-1024x829.png)
Consideriamo un punto generico
Poiché
La retta tangente a
Intersecando con l’asse
La retta per
Intersecando con l’asse
Quindi la misura del segmento
Quindi nel caso della funzione
Supponiamo ora che la funzione sia
Ci sono due casi, a seconda che
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q2-1-1-1024x824.png)
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q2-2-1024x824.png)
Consideriamo il generico punto del grafico
In questo caso si ha:
La retta tangente al grafico
La retta tangente ha quindi equazione
Intersecando con l’asse
Il punto
Pertanto il segmento
La lunghezza del segmento
Punto 2
Sia
Si ha
Se
Se
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig4-1024x943.png)
Punto 3
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig5-1024x737.png)
Dalla figura 5 si osserva che basta togliere da un rettangolo di base
Un modo più facile di determinare l’area del dominio
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig6-1024x867.png)
Pertanto l’area del dominio
Punto 4
Consideriamo come nuovo asse
Rispetto a questo nuovo sistema di assi cartesiani, la curva logaritmica assume equazione
La sua funzione inversa avrà per equazione
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig7-1024x867.png)
Il volume
Si ottiene pertanto
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig8-1024x492.png)
Il volume del solido di rotazione è il seguente:
da cui si ottiene
Togliendo il volume del cilindro, si ha
QUESITO 1
Si trovi la funzione
Soluzione quesito 1
Occorre trovare la generica primitiva di sen
e imporre il passaggio per il punto
Si trova
La funzione richiesta è pertanto
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q1-1-1024x552.png)
QUESITO 2
Sono dati gli insiemi
Soluzione quesito 2
La formulazione del quesito è molto generica.
La definizione di funzione non era richiesta, ma conviene richiamarla: una funzione
Volendo eliminare l’ambiguo termine “legge”, si potrebbe definire una funzione in termini di teoria degli insiemi:
una funzione
Le funzioni che si possono costruire tra gli insiemi A e B sono in tutto
Tra queste ce ne sono di suriettive, ad esempio quella che a 1 fa corrispondere
Non si possono costruire funzioni iniettive, perché il numero di elementi di B è minore del numero di elementi di A.
Quindi non si possono costruire nemmeno funzioni biiettive tra A e B.
QUESITO 3
Per quale o quali valori di
Soluzione quesito 3
La famiglia di curve date sono tutte derivabili, e quindi continue, sui reali, perché si tratta di funzioni polinomiali.
Gli eventuali punti a tangente “orizzontale” si determinano quindi calcolando i punti in cui la derivata prima si annulla.
Questi punti possono essere massimi relativi, minimi relativi o flessi con tangente “orizzontale”.
La derivata prima è:
Si tratta ovviamente di una famiglia di parabole.
Occorre imporre che si annulli una sola volta e questo si ha solo se
QUESITO 4
“Esiste un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta.
Soluzione quesito 4
Prima di tutto le facce devono essere poligoni regolari tutti congruenti tra loro.
L’affermazione è sbagliata perché si riferisce ad esagoni generici.
L’affermazione è falsa perché esistono solo cinque tipi di poliedri regolari, che hanno per facce triangoli equilateri (tetraedro regolare, ottaedro regolare e icosaedro regolare), quadrati (solo il cubo o esaedro regolare) o pentagoni regolari (il dodecaedro regolare).
Non può esistere un poliedro regolare con le facce a forma di esagono regolare perché in ogni vertice di un poliedro convergono come minimo tre facce e la somma degli angoli deve essere minore di un angolo giro.
Per un esagono regolare tale somma vale un angolo giro.
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q4.png)
QUESITO 5
Si considerino le seguenti espressioni
A quali di esse è possibile attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta.
Soluzione quesito 5
Ragioniamo nell’insieme dei numeri reali, con le operazioni solite (addizione e moltiplicazione).
La prima espressione
La seconda espressione
Dal momento che il risultato di un’operazione deve essere unico, non si accetta questa divisione. Nella teoria dei limiti di funzioni reali di variabile reale (o delle successioni) questo simbolo lo si accetta per alludere alla forma indeterminata omonima (limite del rapporto tra due funzioni infinitesime).
Il terzo simbolo
Dovrebbe esistere infatti un numero che moltiplicato per 0 dia come risultato 1 , il che è impossibile. Nella teoria dei limiti di funzione reale di una variabile reale (o delle successioni) l’espressione
Anche all’ultima espressione (
Nella teoria dei limiti di funzione reale di una variabile reale (o delle successioni) rappresenta una forma indeterminata riconducibile alla forma indeterminata ”
QUESITO 6
Si calcoli:
Soluzione quesito 6
Questo limite si presenta nella forma indeterminata
Per risolverlo, conviene raccogliere sotto la radice il termine
Il passaggio più difficile è proprio questo, ovvero scrivere un valore assoluto!
Poiché
Sostituendo e semplificando:
Quindi
Se si tenta di risolvere questo limite con la regola di De L’Hospital, si ottiene:
e si ripresenta, inverso, con la stessa forma di indeterminazione. In questo limite la regola di De L’Hospital è inefficace.
QUESITO 7
Si dimostri l’identità
Soluzione quesito 7
Si ha
Quindi, raggruppando in modo diverso:
Quest’ultima espressione – ricordando che
QUESITO 8
Si provi che l’equazione
ha una sola radice compresa tra -1 e 0.
Soluzione quesito 8
Consideriamo la funzione polinomiale
Questa funzione è ovviamente derivabile e quindi continua nell’insieme dei reali.
La derivata prima è la seguente:
sempre positiva.
Quindi
Si ha inoltre
Per il teorema degli zeri delle funzioni continue definite su un intervallo chiuso e poiché
QUESITO 9
Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due muove scienze”, Galileo Galilei descrive la costruzione di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio
Soluzione quesito 9
Sia
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q9-1-1024x553.png)
Questo piano seziona la semisfera secondo un cerchio di area:
Il piano seziona la scodella secondo la corona circolare di area:
Sezioniamo ora il cono con lo stesso piano (parallelo al piano di base, a distanza
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q9-3-1024x539.png)
Si ottiene ovviamente un cerchio di raggio
Pertanto, per ogni piano parallelo alla base della scodella, la sezione della scodella e la sezione del cono hanno la stessa area.
Pertanto il volume della scodella è uguale al volume del cono per il principio di Cavalieri.
Si conclude che il volume dell’ “antiscodella” – cioè quello della semisfera – è lo stesso del volume dell’ “anticono”, ovvero
Quindi il volume della sfera è
QUESITO 10
Si determini il periodo della funzione
Soluzione quesito 10
Il quesito è estremamente facile e la risposta è
A rigore, interpretando il testo (“si determini”), non occorreva scrivere altro.
Il grafico è il seguente:
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q10-1024x562.png)