PROBLEMA 1
È assegnato il settore circolare $A O B$ di raggio $r$ e ampiezza $x(r$ e $x$ sono misurati, rispettivamente, in metri e radianti).
- Si provi che l’area $S$ compresa fra l’arco e la corda $A B$ è espressa, in funzione di $x$, da $S(x)=\frac{1}{2} r^2(x-\operatorname{sen} x)$ con $x \in[0,2 \pi]$.
- Si studi come varia $S(x)$ e se ne disegni il grafico (avendo posto $r=1$ ).
- Si fissi l’area del settore $A O B$ pari a $100 \mathrm{~m}^2$. Si trovi il valore di $r$ per il quale è minimo il perimetro di $A O B$ e si esprima il corrispondente valore di $x$ in gradi sessagesimali (è sufficiente l’approssimazione al grado).
- Sia $r=2$ e $x=\frac{\pi}{3}$. Il settore AOB è la base di un solido $W$ le cui sezioni ottenute con piani ortogonali ad $O B$ sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di $W$.
Soluzione problema 1
Punto 1
L’area del triangolo $O A B$ settore circolare è data da:
$$
\text { Area }(O A B)=\frac{r \cdot r \cdot \sin x}{2}=\frac{1}{2} r^2 \sin x
$$
L’area del settore circolare, indicando con $l$ la misura dell’arco $A B$, è
$$
\text { Area }(\text { settore circolare })=\frac{l \cdot r}{2}=\frac{r^2 x}{2} \text {. }
$$
Quindi l’area $S$ del segmento circolare compreso tra l’arco e la corda è data da
$$S(x)=\frac{1}{2} r^2 x-\frac{1}{2} r^2 \sin x=\frac{1}{2} r^2(x-\sin x)$$
con $x \in[0,2 \pi]$
Punto 2
Se si pone, come richiesto, $r=1$ allora la funzione che si ottiene è la seguente:
$$
S(x)=\frac{1}{2}(x-\sin x) \quad \text { con } x \in[0,2 \pi]
$$
Il grafico della funzione si può ottenere pensandola come differenza di due funzioni elementari e poi dividendo a metà le ordinate.
Ci viene assegnato il dominio $[0,2 \pi]$.La funzione è derivabile (e quindi continua) per ogni $x$.
La funzione è non negativa per ogni $x \in[0,2 \pi]$.
Si ha $S(0)=0$ ed $S(2 \pi)=\pi$.
La derivata prima è $S^{\prime}(x)=\frac{1}{2}(1-\cos x)$ che è positiva per ogni $\left.\left.x \in\right] 0,2 \pi\right]$ e nulla in $x=0$ e in $x=2 \pi$.
Si vede facilmente che tali punti sono punti di flesso con tangente parallela all’asse $x$.
Ricavando la derivata seconda, si ottiene $S^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{2} \sin x$.
Si ha ovviamente $S^{\prime \prime}(x) \geq 0$ se $x \in[0, \pi]$.
In tale intervallo la funzione è convessa. $S^{\prime \prime}(x)=0$ per $x=0, x=\pi$ e $x=2 \pi$.
Si tratta di tre flessi; $x=0$ e $x=2 \pi$ sono flessi a tangente parallela all’asse $x$.
Nel punto $x=\pi$, la derivata prima vale $S^{\prime}(\pi)=1$.
Quindi, in tale punto di flesso $F\left(\pi, \frac{\pi}{2}\right)$ la tangente è parallela alla bisettrice del primo quadrante.
PUNTO 3.
$A_{\text {settore circolare АОВ }}=\frac{1}{2} r^2 \alpha=100 m^2 \quad$ sia $r=x \quad(x>0) \Rightarrow \alpha=\frac{200}{x^2} \quad(C r f=2 \pi x)$
$A B: C r f=\alpha: 2 \pi \rightarrow A B=\frac{2 \pi x \cdot \alpha}{2 \pi}=x \cdot \alpha=x \cdot \frac{200}{x^2}=\frac{200}{x}$
perimetro $_{\text {settore circolare } A O B}=2 x+A B=2 x+\frac{200}{x}$
perimetro minimo?
$$
y=2 x+\frac{200}{x} \rightarrow y^{\prime}=2-\frac{200}{x^2} \rightarrow y^{\prime}>0 \Leftrightarrow \frac{2 x^2-200}{x^2}>0 \Leftrightarrow x<-10 \vee x>10
$$
Perimetro minimo per $x=r=10 \mathrm{~m}$
$\alpha=\frac{200}{100}=2 \text { radianti }$
$2: x=\pi: 180^{\circ} \Rightarrow x=\frac{360^{\circ}}{\pi} \cong 114,6^{\circ}$
PUNTO 4.
$$
\begin{aligned}
& \overline{O A}=\overline{O B}=2, \quad A \stackrel{A}{O} B=\frac{\pi}{3} \Rightarrow \
& O(0 ; 0), \quad B(2 ; 0), \quad A(1 ; \sqrt{3})
\end{aligned}
$$
Equazione della retta $r$ passante per $O$ e per A: $y=\sqrt{3} x$
Equazione dell’arco di circonferenza passante per A e per B: $y=\sqrt{4-x^2}$
$W=\int_0^1(\sqrt{3} x)^2 d x+\int_1^2\left(\sqrt{4-x^2}\right)^2 d x=\int_0^1 3 x^2 d x+\int_1^2\left(4-x^2\right) d x=$
$=\left[x^3\right]_0^1+\left[4 x-\frac{x^3}{3}\right]_1^2=1+8-\frac{8}{3}-4+\frac{1}{3}=5-\frac{7}{3}=\frac{8}{3}$
PROBLEMA 1
Nel piano riferito a coordinate cartesiane, ortogonali e monometriche, si tracci il grafico $G_f$ della funzione $f(x)=\log x$ (logaritmo naturale)
- Sia $A$ il punto d’intersezione con l’asse $y$ della tangente a $G_f$ in un suo punto $P$. Sia $B$ il punto d’intersezione con l’asse $y$ della parallela per $P$ all’asse $x$. Si dimostri che, qualsiasi sia $P$, il segmento $A B$ ha lunghezza costante. Vale la stessa proprietà per il grafico $G_g$ della funzione $g(x)=\log _a x$ con $a$ reale positivo diverso da 1 ?
- Sia $\delta$ l’inclinazione sull’asse $x$ della retta tangente a $G_g$ nel suo punto di ascissa 1 . Per quale valore della base $a$ è $\delta=45^{\circ}$ ? E per quale valore di $a$ è $\delta=135^{\circ}$ ?
- Sia $\mathbf{D}$ la regione del primo quadrante delimitata dagli assi coordinati, da $G_f$ e dalla retta d’equazione $y=1$. Si calcoli l’area di $\mathbf{D}$.
- Si calcoli il volume del solido generato da $\mathbf{D}$ nella rotazione completa attorno alla retta d’equazione $x=-1$.
Soluzione problema 1
Punto 1
Tracciamo il grafico $G_f$ della funzione $f(x)=\ln x$ (logaritmo naturale di $x$ ).
Consideriamo un punto generico $P(t, \ln t)$, appartenente al grafico della funzione; quindi $t$ è un numero reale positivo.
Poiché $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$, il coefficiente angolare della retta tangente nel punto $P$ al grafico della funzione $f(x)$ sarà $m=f^{\prime}(t)=\frac{1}{t}$.
La retta tangente a $G_f$ nel punto $P$ avrà per equazione: $y-\ln t=\frac{1}{t}(x-t)$.
Intersecando con l’asse $y$, si ottiene il punto $A(0 ;-1+\ln t)$.
La retta per $P$ parallela all’asse $x$ ha per equazione $y=\ln t$.
Intersecando con l’asse $y$ si ottiene il punto $B(0 ; \ln t)$.
Quindi la misura del segmento $A B$, sarà data da:
$\overline{A B}=\left|y_B-y_A\right|=|\ln t-(\ln t-1)|=1$ per ogni $t$ reale positivo.
Quindi nel caso della funzione $f(x)=\ln x$, il segmento $A B$ ha lunghezza costante (vale 1).
Supponiamo ora che la funzione sia $g(x)=\log _a x$.
Ci sono due casi, a seconda che $a>1$ oppure $0<a<1$, rappresentati nelle seguenti figure.
Consideriamo il generico punto del grafico $G_g$.
In questo caso si ha:
$g^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \log _a e$.
La retta tangente al grafico $G_g$ nel punto $P\left(t, \log _a t\right)$ ha coefficiente angolare $g^{\prime}(t)=\frac{1}{t} \log _a e$.
La retta tangente ha quindi equazione $y-\log _a t=\left(\frac{1}{t} \log _a e\right)(x-t)$.
Intersecando con l’asse $y$ si ottiene pertanto:
$$
y=\log _a t-\log _a e
$$
Il punto $A$ ha quindi coordinate $A\left(0 ; \log _a t-\log _a e\right)$. Il punto $B$ ha coordinate $B\left(0 ; \log _a t\right)$.
Pertanto il segmento $A B$ misura:
$$
\overline{A B}=\left|y_B-y_A\right|=\left|\log _a t-\left(\log _a t-\log _a e\right)\right|=\left|\log _a e\right|=\frac{1}{|\ln a|}
$$
La lunghezza del segmento $A B$ è quindi costante per ogni base $a$ dei logaritmi $(a>0$ e $a \neq 1)$.
Punto 2
Sia $\delta$ l’angolo formato dalla retta tangente al grafico $G_g$ nel suo punto $A(1,0)$ di ascissa 1.
Si ha $m=g^{\prime}(1)=\frac{1}{\ln a}=\tan \delta$
Se $\delta=45^{\circ}$, allora $\frac{1}{\ln a}=1$, ovvero $a=e$ e la funzione è $f(x)=\ln x$ (logaritmo naturale).
Se $\delta=135^{\circ}$, allora $\frac{1}{\ln a}=-1$, ossia $\ln a=-1$. Si ha quindi $a=e^{-1}=\frac{1}{e}$ e la funzione è $g(x)=\log _{\frac{1}{e}} x=\frac{\ln (x)}{-1}=-\ln x$
Punto 3
Dalla figura 5 si osserva che basta togliere da un rettangolo di base $e$ e altezza 1 l’area del trapezoide $T$ formato da logaritmo naturale con lasse $x$. Si ottiene:
$$
\operatorname{Area}(D)=\operatorname{Area}(R)-\operatorname{Area}(T)=e-\int_1^e \ln x d x=e-[x \ln x-x]_1^e=e-1
$$
Un modo più facile di determinare l’area del dominio $D$ fa uso di una simmetria della figura rispetto alla bisettrice del I quadrante. Si ottiene la figura 6 seguente.
Pertanto l’area del dominio $D^{\prime}$ simmetrico di $D$ rispetto alla retta $y=x$, è:
$$
\operatorname{Area}\left(D^{\prime}\right)=\operatorname{Area}(D)=\int_0^1 e^x d x=\left[e^x\right]_0^1=e-1
$$
Punto 4
Consideriamo come nuovo asse $y$ la retta di equazione $x=-1$, operando una traslazione di assi coordinati, in modo che l’origine diventi il punto $O^{\prime}(-1,0)$.
Rispetto a questo nuovo sistema di assi cartesiani, la curva logaritmica assume equazione $y=\ln (x-1)$.
La sua funzione inversa avrà per equazione $x=e^y+1$.
Il volume $W$ si ottiene come differenza tra il volume di un solido di rotazione generato dalla curva $x=e^y+1$ attorno al nuovo asse $y$ e un cilindro di raggio 1 e altezza 1 , che avrà quindi volume $\pi$.
Si ottiene pertanto
$$
V=V_1-V_2 .
$$
Il volume del solido di rotazione è il seguente:
$$
V_1=\pi \int_0^1\left(e^y+1\right)^2 d y=\pi \int_0^1\left(e^{2 y}+2 e^y+1\right) d y=\pi\left[\frac{1}{2} e^{2 y}+2 e^y+y\right]_0^1
$$
da cui si ottiene
$$
V_1=\pi\left[\frac{1}{2} e^2+2 e+1-\left(\frac{1}{2}+2\right)\right]=\pi\left(\frac{1}{2} e^2+2 e-\frac{3}{2}\right)
$$
Togliendo il volume del cilindro, si ha
$$
W=\pi\left(\frac{1}{2} e^2+2 e-\frac{3}{2}\right)-\pi=\pi\left(\frac{1}{2} e^2+2 e-\frac{5}{2}\right)
$$
QUESITO 1
Si trovi la funzione $f(x)$ la cui derivata è sen $x$ e il cui grafico passa per il punto $(0,2)$.
Soluzione quesito 1
Occorre trovare la generica primitiva di sen $x$, che è
$$
\int \sin x d x=-\cos x+c
$$
e imporre il passaggio per il punto $(0,2)$.
Si trova $-1+c=2$ e quindi $c=3$.
La funzione richiesta è pertanto $f(x)=-\cos x+3$. Il grafico della funzione è il seguente.
QUESITO 2
Sono dati gli insiemi $A={1,2,3,4}$ e $B={a, b, c}$. Tra le possibili applicazioni (o funzioni) di $A$ in $B$, ce ne sono di suriettive? Di iniettive? Di biiettive?
Soluzione quesito 2
La formulazione del quesito è molto generica.
La definizione di funzione non era richiesta, ma conviene richiamarla: una funzione $f$ di A in B è una “legge” che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
Volendo eliminare l’ambiguo termine “legge”, si potrebbe definire una funzione in termini di teoria degli insiemi:
una funzione $f$ da A a B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB tale che per ogni x appartenente ad A esiste uno ed un solo y appartenente a $B$ per il quale la coppia ( $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ ) appartiene ad $f$.
Le funzioni che si possono costruire tra gli insiemi A e B sono in tutto $3^4=81$.
Tra queste ce ne sono di suriettive, ad esempio quella che a 1 fa corrispondere $a$, a 2 fa corrispondere $b$, a 3 fa corrispondere $c$ e a 4 fa corrispondere ancora $c$.
Non si possono costruire funzioni iniettive, perché il numero di elementi di B è minore del numero di elementi di A.
Quindi non si possono costruire nemmeno funzioni biiettive tra A e B.
QUESITO 3
Per quale o quali valori di $k$ la curva di equazione $y=x^3+k x^2+3 x-4$ ha una sola tangente orizzontale?
Soluzione quesito 3
La famiglia di curve date sono tutte derivabili, e quindi continue, sui reali, perché si tratta di funzioni polinomiali.
Gli eventuali punti a tangente “orizzontale” si determinano quindi calcolando i punti in cui la derivata prima si annulla.
Questi punti possono essere massimi relativi, minimi relativi o flessi con tangente “orizzontale”.
La derivata prima è:
$$
f^{\prime}(x)=3 x^2+2 k x+3
$$
Si tratta ovviamente di una famiglia di parabole.
Occorre imporre che si annulli una sola volta e questo si ha solo se $\frac{\Delta}{4}=k^2-9=0$, ovvero per $k= \pm 3$.
QUESITO 4
“Esiste un poliedro regolare le cui facce sono esagoni”. Si dica se questa affermazione è vera o falsa e si fornisca una esauriente spiegazione della risposta.
Soluzione quesito 4
Prima di tutto le facce devono essere poligoni regolari tutti congruenti tra loro.
L’affermazione è sbagliata perché si riferisce ad esagoni generici.
L’affermazione è falsa perché esistono solo cinque tipi di poliedri regolari, che hanno per facce triangoli equilateri (tetraedro regolare, ottaedro regolare e icosaedro regolare), quadrati (solo il cubo o esaedro regolare) o pentagoni regolari (il dodecaedro regolare).
Non può esistere un poliedro regolare con le facce a forma di esagono regolare perché in ogni vertice di un poliedro convergono come minimo tre facce e la somma degli angoli deve essere minore di un angolo giro.
Per un esagono regolare tale somma vale un angolo giro.
QUESITO 5
Si considerino le seguenti espressioni
$$
\frac{0}{1} ; \frac{0}{0} ; \frac{1}{0} ; 0^0
$$
A quali di esse è possibile attribuire un valore numerico? Si motivi la risposta.
Soluzione quesito 5
Ragioniamo nell’insieme dei numeri reali, con le operazioni solite (addizione e moltiplicazione).
La prima espressione $\frac{0}{1}$ ha significato e il risultato è ovviamente 0.
La seconda espressione $\frac{0}{0}$ non ha significato, perché se si decidesse di dare un significato a questa espressione, in base alla definizione di divisione, il risultato sarebbe un qualunque numero reale.
Dal momento che il risultato di un’operazione deve essere unico, non si accetta questa divisione. Nella teoria dei limiti di funzioni reali di variabile reale (o delle successioni) questo simbolo lo si accetta per alludere alla forma indeterminata omonima (limite del rapporto tra due funzioni infinitesime).
Il terzo simbolo $\frac{1}{0}$ non ha significato e non è possibile dare un significato a questa scrittura.
Dovrebbe esistere infatti un numero che moltiplicato per 0 dia come risultato 1 , il che è impossibile. Nella teoria dei limiti di funzione reale di una variabile reale (o delle successioni) l’espressione $\frac{1}{0}$ allude ad uno dei casi che si presenta nel limite del rapporto; questo limite è $+\infty$ oppure $-\infty$.
Anche all’ultima espressione ( $0^{\circ}$ ) non è possibile dare alcun significato; è un’espressione alla quale non si attribuisce significato.
Nella teoria dei limiti di funzione reale di una variabile reale (o delle successioni) rappresenta una forma indeterminata riconducibile alla forma indeterminata ” $0 \cdot \infty$ ” utilizzando la definizione di logaritmo.
QUESITO 6
Si calcoli: $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$.
Soluzione quesito 6
Questo limite si presenta nella forma indeterminata $\frac{\infty}{\infty}$.
Per risolverlo, conviene raccogliere sotto la radice il termine $x^2$, ottenendo:
$$ \lim {x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\lim {x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}{x}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{|x| \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x} $$
Il passaggio più difficile è proprio questo, ovvero scrivere un valore assoluto!
Poiché $x \rightarrow-\infty$, non è restrittivo supporre che $x<0$. Si ottiene pertanto che $|x|=-x$.
Sostituendo e semplificando:
$$ \lim {x \rightarrow-\infty} \frac{|x| \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}=\lim {x \rightarrow-\infty} \frac{-x \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x}=\lim _{x \rightarrow-\infty}-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=-1 . $$
Quindi
$$ \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=-1 $$
Se si tenta di risolvere questo limite con la regola di De L’Hospital, si ottiene:
$$ \lim {x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x} \stackrel{H}{n}=\lim {x \rightarrow-\infty} \frac{\frac{2 x}{2 \sqrt{x^2+1}}}{1}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $$
e si ripresenta, inverso, con la stessa forma di indeterminazione. In questo limite la regola di De L’Hospital è inefficace.
QUESITO 7
Si dimostri l’identità
$$
\binom{n}{k+1}=\binom{n}{k} \frac{n-k}{k+1}
$$
Soluzione quesito 7
Si ha
$$
\binom{n}{k} \frac{n-k}{k+1}=\frac{n(n-1) \cdot \ldots . .(n-k+1)}{k!} \cdot \frac{n-k}{k+1}
$$
Quindi, raggruppando in modo diverso:
$$
\binom{n}{k} \frac{n-k}{k+1}=\frac{n(n-1) \cdot \ldots .(n-k+1)(n-k)}{(k+1) \cdot k!}
$$
Quest’ultima espressione – ricordando che $(k+1) \cdot k!=(k+1)!$ – non è altro che $\binom{n}{k+1}$.
QUESITO 8
Si provi che l’equazione
$$
x^{2009}+2009 x+1=0
$$
ha una sola radice compresa tra -1 e 0.
Soluzione quesito 8
Consideriamo la funzione polinomiale $f(x)=x^{2009}+2009 x+1$.
Questa funzione è ovviamente derivabile e quindi continua nell’insieme dei reali.
La derivata prima è la seguente:
$$
f^{\prime}(x)=2009 \cdot x^{2008}+2009
$$
sempre positiva.
Quindi $f(x)$ è strettamente crescente nei reali e a maggior ragione nell’intervallo chiuso $[-1,0]$.
Si ha inoltre $f(-1)<0$ ed $f(0)>0$.
Per il teorema degli zeri delle funzioni continue definite su un intervallo chiuso e poiché $f(x)$ è strettamente crescente, il polinomio ammette una ed una sola radice reale (in tutto il suo dominio), compresa strettamente tra -1 e 0.
QUESITO 9
Nei “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due muove scienze”, Galileo Galilei descrive la costruzione di un solido che chiama scodella considerando una semisfera di raggio $r$ e il cilindro ad essa circoscritto. La scodella si ottiene togliendo la semisfera dal cilindro. Si dimostri, utilizzando il principio di Cavalieri, che la scodella ha volume pari al cono di vertice V in figura.
Soluzione quesito 9
Sia $r$ il raggio della sfera. Si considera un piano parallelo al piano di base del cilindro a distanza $x$ dal vertice del cono.
Questo piano seziona la semisfera secondo un cerchio di area:
$Area cerchio sezione semisfera=\pi\left(r^2-x^2\right)$.
Il piano seziona la scodella secondo la corona circolare di area:
$Area corona circolare sezione scodella=\pi r^2-\pi\left(r^2-x^2\right)=\pi x^2$.
Sezioniamo ora il cono con lo stesso piano (parallelo al piano di base, a distanza $x$ da vertice).
Si ottiene ovviamente un cerchio di raggio $x$, che ha area:
$Area_{cerchio sezione cono}=\pi x^2$.
Pertanto, per ogni piano parallelo alla base della scodella, la sezione della scodella e la sezione del cono hanno la stessa area.
Pertanto il volume della scodella è uguale al volume del cono per il principio di Cavalieri.
Si conclude che il volume dell’ “antiscodella” – cioè quello della semisfera – è lo stesso del volume dell’ “anticono”, ovvero $V=\frac{2}{3} \pi r^3$.
Quindi il volume della sfera è
$$V_{sfera}=2 \cdot V_{antiscodella}=\frac{4}{3} \pi r^3$$
QUESITO 10
Si determini il periodo della funzione $f(x)=\cos 5 x$.
Soluzione quesito 10
Il quesito è estremamente facile e la risposta è
$$
T=\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{5}
$$
A rigore, interpretando il testo (“si determini”), non occorreva scrivere altro.
Il grafico è il seguente:
