PROBLEMA 1
Il triangolo rettangolo ABC ha l’ipotenusa
a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x , l’arco di circonferenza di estremi
b) Si esprima in funzione di
c) Tra i rettangoli con un lato su AB e i vertici del lato opposto su ciascuno dei due cateti si determini quello di area massima.
d) Il triangolo ABC è la base di un solido W . Si calcoli il volume di W sapendo che le sue sezioni, ottenute tagliandolo con piani perpendicolari ad AB , sono tutti quadrati.
Soluzione problema 1
Punto a.
Siano
pertanto
Punto b.
L’area del quadrilatero mistilineo PQRC si ottiene per differenza tra l’area del triangolo ABC e quella dei settori circolari APR e PQB.
Area
Area settore
Area settore
Area
Si tratta di una parabola che volge la concavità verso il basso. La funzione assume valore massimo in corrispondenza del vertice,
Per il minimo è necessario confrontare il valore di
Il valore minimo si ha per
Punto c.
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Si ponga
Allora
Area
Come al punto precedente si tratta di una parabola e il massimo si trova in corrispondenza del vertice, con
Punto d.
Il volume del solido W si può calcolare con il metodo “delle fette”, che equivale al principio di Cavalieri. Il lato del quadrato sezione varia, a seconda che la sezione intersechi il lato AC o il lato BC. Chiamata
In alternativa si può osservare che il solido in questione è costituito da due piramidi aventi in comune la base, che è un quadrato avente per lato l’altezza del triangolo ABC relativa all’ipotenusa, che vale
La somma delle altezze delle piramidi è
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Il volume pertanto vale
PROBLEMA 2
Assegnato nel piano il semicerchio
a) Si disegni nello stesso semipiano di
b) Si trovi il rettangolo di area massima inscritto in
c) Sia P un punto della semicirconferenza di
Si calcoli il rapporto
d) Si studi
SOLUZIONE PROBLEMA 2
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Punto a.
Con riferimento alla figura 1 , l’angolo MCN è di
Punto b.
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Chiamato
L’area del rettangolo KHSR è
Punto c.
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Sia
Area
Perciò
Punto d.
Sia
La funzione assume valore positivo per ogni valore di
Si ha
In
In
Tenendo conto di simmetrie e periodicità, il grafico è quello indicato nella figura 4.
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QUESITO 1
Si consideri la seguente proposizione: ” Se due solidi hanno uguale volume, allora, tagliati da un fascio di piani paralleli, intercettano su di essi sezioni di uguale area”. Si dica se essa è vera o falsa e si motivi esaurientemente la risposta.
Soluzione quesito 1
La proposizione è falsa.
La proposizione è l’inversa del “principio di Cavalieri”, un assioma della geometria dello spazio che afferma:
“Se due solidi, allorché sono sezionati da un fascio di piani paralleli, formano, per ogni piano del fascio, sezioni di ugual area, allora i due solidi hanno ugual volume”.
Ovvero:
il principio di Cavalieri fornisce una condizione sufficiente per l’equivalenza di due solidi, ma questa condizione non è necessaria.
E’ facile trovare dei solidi che sono equivalenti ma per i quali non è possibile trovare un fascio di piani che “intercetti” su questi solidi sezioni di ugual area.
Consideriamo ad esempio un cubo e lo sezioniamo in due prismi uguali, tramite un piano che passa per le diagonali di due facce opposte. Questi due prismi li mettiamo uno sopra l’altro, ottenendo un prisma a base triangolare, di altezza doppia rispetto al cubo.
Quest’ultimo prisma e il cubo sono evidentemente equivalenti, ma non verificano il principio di Cavalieri.
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QUESITO 2
Ricordando che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio, si provi che
Soluzione quesito 2
Ricordiamo che la sezione aurea di un segmento di lunghezza
Poiché
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Si ha:
ossia
Si ottiene l’equazione:
che ha come unica radice positiva
QUESITO 3
Fra le casseruole, di forma cilindrica, aventi la stessa superficie S (quella laterale più il fondo) qual è quella di volume massimo?
Soluzione quesito 3
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Sia
Il cilindro di volume massimo ha il raggio di base pari a
QUESITO 4
Si esponga la regola del marchese de L’Hôpital (1661 – 1704) e la si applichi per dimostrare che è:
Soluzione quesito 4
La regola citata nel testo è presente in ogni libro di testo per i licei scientifici. Basta applicare ripetutamente, 2008 volte, la regola di De L’Hôpital (la forma indeterminata è del tipo
Se si applica la regola una prima volta, si trova ancora una forma indeterminata dello stesso tipo:
Dopo 2008 derivazioni si ottiene
QUESITO 5
Si determini un polinomio
Soluzione quesito 5
Indichiamo con
Si ha
e
Dalle condizioni assegnate, si ha:
Quindi
e in definitiva
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QUESITO 6
Se
Soluzione quesito 6
Si ha
con le condizioni
Poiché questi tre termini devono formare una progressione aritmetica, si ha:
da cui si ricava
che fornisce l’equazione di secondo grado (da risolvere in
la cui unica soluzione accettabile è
I tre numeri in progressione aritmetica richiesti sono:
QUESITO 7
Si determini, al variare di k, il numero delle soluzioni reali dell’equazione:
Soluzione quesito 7
L’equazione data si può scrivere:
che equivale al sistema
Studio della cubica
Il dominio è
Segno:
Intersezione assi:
Non ci sono asintoti
DERIVATE :
MASSIMO
Flesso
In definitiva si ottiene
1 soluzione per
3 soluzioni per
3 soluzioni (di cui due coincidenti) per
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QUESITO 8
Sia
Soluzione quesito 8
Poiché
Pertanto il dominio di
Tuttavia, essendo l’esponente positivo, si può prolungare la funzione per continuità ed accettare nel dominio anche
Calcoliamo la
e quindi
ed essendo
essendo
Calcoliamo ora la derivata seconda della funzione:
e quindi
poiché
In definitiva, nel punto
QUESITO 9
Sia
Soluzione quesito 9
Il dominio della funzione è
In particolare:
In
Dunque il limite richiesto non esiste.
QUESITO 10
Secondo il codice della strada il segnale di “salita ripida” (fig. a lato) preaverte di un tratto di strada con pendenza tale da costituire pericolo. La pendenza vi è espressa in percentuale e nell’esempio è
Soluzione quesito 10
In matematica si definisce la pendenza come il rapporto tra cateto opposto all’angolo e cateto adiacente all’angolo
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