PROBLEMA 1
Si considerino i triangoli la cui base è
- Riferito il piano ad un conveniente sistema di coordinate, si determini l’equazione del luogo geometrico
descritto da . - Si rappresenti
, tenendo conto, ovviamente, delle prescritte condizioni geometriche. - Si determini l’ampiezza dell’angolo
che rende massima la somma dei quadrati delle altezze relative ai lati e e, con l’aiuto di una calcolatrice, se ne dia un valore approssimato in gradi e primi (sessagesimali). - Si provi che se
allora è
SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1
Punto 1.
Consideriamo il punto A coincidente con l’origine degli assi cartesiani e il punto B di coordinate
Facciamo passare per il punto
Costruiamo l’asse a del segmento
Disegniamo la bisettrice b’ dell’angolo formato dalla semiretta r con il semiasse positivo delle
Intersechiamo b con r ; si ottiene il punto C (figura 1 ).
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/1-1.png)
Punto 2.
Al variare della semiretta r attorno all’origine degli assi, il punto C descrive un luogo geometrico
La retta b ha equazione:
Intersecando queste due rette si ottiene il punto C :
Possiamo dunque scrivere:
Sostituendo
Di questa iperbole si deve considerare solo il ramo “di sinistra”, ossia quello che giace nel semipiano definito da
Ponendo
Si ha:
Con centro di simmetria nel punto
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig-2.png)
Soluzione alternativa dei primi due punti del problema
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig-3.png)
Si consideri il trapezio isoscele ABEC (figura 3).
In questo trapezio la base CE è uguale al lato AC (e quindi anche al lato BE). Infatti è facile dimostrare che il triangolo AEC è isoscele perché l’angolo CAE è uguale all’angolo CEA (che a sua volta è uguale all’angolo EAB).
Essendo M il punto medio di CE , ne consegue che CM è sempre la metà del segmento AC .
Consideriamo ora la retta a (asse del segmento AB ) come direttrice e il punto A come fuoco. Possiamo pensare al luogo geometrico
Il luogo
Considerando il punto A come origine degli assi e l’asse positivo delle
Quadrando si ottiene:
da cui si ottiene l’equazione del luogo:
Di questa iperbole si deve considerare solo il ramo “di sinistra”, ossia quello che giace nel semipiano definito da
Punto 3.
Disegniamo le altezze relative ai lati AC e BC come richiesto.
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig-4.png)
Ragionando sui triangoli rettangoli ABK e ABH , si ha
Nel triangolo ABC deve essere
Si ricava pertanto che
La funzione si cui viene chiesto il massimo è la seguente:
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig-5.png)
Studiando il segno della derivata prima
si ottiene che il massimo si ha per
Usando la calcolatrice, si ottiene
Punto 4.
Se l’angolo
Quindi il triangolo è isoscele.
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig-6.png)
Questo triangolo isoscele si ritrova nella costruzione geometrica del decagono regolare inscritto in una circonferenza (il lato è la sezione aurea del raggio).
Quindi AC è la sezione aurea di AB , ossia vale la seguente relazione:
PROBLEMA 2
Si consideri un cerchio
- Tra i triangoli isosceli inscritti in
si trovi quello di area massima. - Si denoti con
l’area del poligono regolare di lati inscritto in . Si dimostri che e si trovi un’analoga espressione per l’area del poligono regolare di lati circoscritto a . - Si calcoli il limite di
per . - Si spieghi in che cosa consista il problema della quadratura del cerchio e se, e in che senso, si tratti di un problema risolubile o meno.
Soluzione del problema 2
Punto 1.
Consideriamo la figura 1.
Indichiamo con x la misura dell’altezza HC del triangolo.
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig-1-984x1024.png)
Per i secondo teorema di Euclide, si ha:
L’area del triangolo ABC è quindi:
Derivando si ottiene:
L’area è massima per
In questo caso il triangolo è equilatero.
Punto 2.
Consideriamo un poligono regolare di
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig-2-1.png)
L’area del poligono regolare sarà pertanto:
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig-3-1.png)
Il poligono regolare circoscritto con lo stesso numero di lati avrà area:
Punto 3.
Il limite richiesto è il seguente:
Questo limite rappresenta l’area del cerchio.
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig-4-1.png)
Punto 4.
Si tratta di un famoso problema nato nella matematica greca, ovvero se sia possibile, usando soltanto la riga e il compasso, costruire un quadrato equivalente, cioè con la stessa area, di un cerchio dato.
Per il cerchio questo problema non si può risolvere con riga e compasso.
Questo problema è possibile invece per ogni poligono. Ad esempio, è possibile fare la “quadratura di un triangolo”; si può infatti costruire, usando soltanto la riga e il compasso, un quadrato equivalente al triangolo.
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/fig.5-1024x469.png)
Nell’Ottocento è stato dimostrato che il problema della quadratura del cerchio è impossibile perché il numero
QUESITO 1
La regione R delimitata dal grafico di
Soluzione quesito 1
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/f1-1024x672.png)
Il volume del solido si può ottenere con un integrale definito con il metodo delle “fette”.
Determiniamo la superficie del generico triangolo equilatero. Si ottiene:
Integrando si ha:
QUESITO 2
Le misure dei lati di un triangolo sono
Soluzione quesito 2
Poiché si conoscono i tre lati del triangolo, allora si deve applicare come primo passaggio il teorema del coseno (o di Carnot).
Si ottiene:
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q.1.png)
Quindi
Sostituendo
Si ha
Analogamente si ha:
Infine si ha
QUESITO 3
Si determini, al variare di
Soluzione quesito 3
L’equazione data può essere scritta nella forma:
che si può risolvere tramite il sistema
La cubica
La derivata prima è
Il massimo si ha per
Il minimo relativo vale
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q.3-1024x967.png)
Si conclude che l’equazione ammette una soluzione per
QUESITO 4
Un serbatoio di olio ha la stessa capacità del massimo cono retto di apotema 1 metro. Si dica quanti litri d’olio il serbatoio può contenere.
Soluzione quesito 4
Si pone
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q.4-1024x717.png)
Il volume del cono è dato da:
Derivando si trova che il volume è massimo per
Trasformando in litri, si ottiene:
QUESITO 5
Si mostri che la funzione
Soluzione quesito 5
La funzione data è ottenuta traslando di 8 verso l’alto la funzione
E’ una funzione derivabile e quindi continua in R e quindi anche nell’intervallo dato
In base al teorema di Lagrange citato nell’enunciato esiste almeno un punto
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/f1-1-706x1024.png)
Per determinare tale punto (o tali punti) dobbiamo risolvere l’equazione
ossia
Si ha pertanto
In questi punti del grafico della cubica la retta tangente è parallela alla corda che congiunge i punti estremi A
QUESITO 6
Si sa che il prezzo
Soluzione quesito 6
Il prezzo finale dell’abito è inferiore a quello iniziale ed è indifferente, in questo caso se si è avuto prima l’aumento e poi la riduzione.
Infatti in entrambi i casi, il prezzo finale sarà:
Il prezzo finale è quindi il
In generale se
QUESITO 7
Se
Soluzione quesito 7
Se la funzione è dispari (e continua) allora il suo integrale in un intervallo simmetrico rispetto all’origine O è nullo.
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q7-1024x622.png)
L’integrale della funzione
QUESITO 8
Si risolva l’equazione
Soluzione quesito 8
Il numero
Semplificando si ottiene:
Si ottiene l’equazione di secondo grado:
che ha le soluzioni, entrambe accettabili,
QUESITO 9
Si calcoli l’integrale indefinito
Soluzione quesito 9
L’integrale indefinito assegnato si risolve per sostituzione, una sostituzione di tipo trigonometrico; la sostituzione è suggerita dalla seguente figura.
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q9.png)
Si pone
Quindi
Sostituendo nell’integrale
Quindi tornando alla variabile
In definitiva si ha
L’integrale corrisponde a un quarto dell’area del cerchio unitario:
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q.9-2.png)
QUESITO 10
Per orientarsi sulla Terra si fa riferimento a meridiani e a paralleli, a latitudini e a longitudini. Supponendo che la Terra sia una sfera
Soluzione quesito 10
Un meridiano (figura 1) è una delle due semicirconferenze massime ottenute dall’intersezione di un piano passante per il polo Nord e per il polo Sud con la superficie sferica della Terra.
Gli estremi di un meridiano sono dunque il polo Nord e il polo Sud (figura 1).
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q.10-1024x865.png)
Un parallelo (figura 2) è una circonferenza ottenuta dall’intersezione tra un piano perpendicolare all’asse terrestre con la superficie terrestre.
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q.10-2-1024x835.png)
Considerato un meridiano di riferimento (Greenwich), per ogni punto della superficie terrestre (diverso dai poli) passa uno ed un solo meridiano.
L’angolo (minore di 180°) formato tra il piano passante per l’asse terrestre contenente il meridiano e quello di riferimento si chiama longitudine (che è detta latitudine Est oppure latitudine Ovest a seconda che il punto P si trovi a Est oppure a ovest del meridiano di Greenwich. Ad esempio l’Italia è a Est; vedi figura 3).
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q.10-3-1024x787.png)
Considerato il piano perpendicolare all’asse terrestre e passante per il centro O della Terra, questo interseca la superficie sferica su un cerchio massimo detto equatore. Il meridiano passante per P incontra l’equatore in un punto E.
L’angolo POE si chiama latitudine (“latitudine Nord” se P appartiene all’emisfero Nord, “latitudine Sud” se P appartiene all’altro emisfero; vedi figura 4).
![](https://www.sosmatematica.it/wp-content/uploads/2024/08/q.10-4-1024x798.png)