PROBLEMA 1
Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy, ortogonale e monometrico, si consideri la regione
- Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione completa di
attorno all’asse . - Si calcoli il volume del solido generato dalla rotazione completa di
attorno alla retta . - Si determini il valore di
per cuil la retta dimezza l’area di . - Per
sia l’area del triangolo delimitato dagli assi e dalla tangente a nel suo punto di ascissa . Si determini . - Si determini il valore di
per il quale è minima.
SOLUZIONE PROBLEMA 1
1) Il volume del solido di rotazione è dato da:
2) Ricavando i raggi di rotazione interno ed esterno, si ha
3) Chiamando
Quindi, osservando che l’area di
da cui si deriva con semplici calcoli
4) Ricordiamo che la retta tangente al grafico di una funzione
e determina quindi un triangolo di vertici dati dall’intersezione con gli assi coordinati e dall’origine: l’intersezione con l’asse delle ascisse si trova ponendo
5) Dal punto precedente si ricava l’espressione per
Per trovare il punto di minimo basta porre
che fornisce l’unica soluzione positiva
PROBLEMA 2
Si consideri la funzione
e sia C la sua curva rappresentativa nel riferimento Oxy, ortogonale e monometrico.
- Si stabilisca se
è continua e derivabile in 0 . - Si dimostri che l’equazione
ha, sull’intervallo , un’unica radice reale. - Si disegni C e si determini l’equazione della retta
tangente a C nel punto di ascissa . - Sia
un intero naturale non nullo. Si esprima, in funzione di , l’area del dominio piano delimitato dalla curva C , dalla retta tangente e dalle due rette: e . - Si calcoli il limite per
di e si interpreti il risultato ottenuto.
SOLUZIONE PROBLEMA 2
1) Per la continuità è sufficiente studiare il limite
Per la differenziabilità studiamo il limite del rapporto incrementale
quindi
2) Osserviamo innanzi tutto che
e quindi la funzione ha un punto a tangente orizzontale in
3) Dal calcolo della derivata seconda:
4) L’area
5) Si ha che
osservando che la funzione fra parentesi quadre, pur non essendo definita in 0 è ivi estendibile con continuità.
QUESTIONARIO
- Si dimostri che il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea del raggio e si utilizzi il risultato per calcolare
. - Una bevanda viene venduta in lattine, ovvero contenitori a forma di cilindro circolare retto, realizzati con fogli di latta. Se una lattina ha la capacità di 0,4 litri, quali devono essere le sue dimensioni in centimetri, affinché sia minima la quantità di materiale necessario per realizzarla? (Si trascuri lo spessore della latta).
- Si dimostri che la curva
è tangente alla retta quando ed è tangente alla retta quando - Si dimostri che tra tutti i rettangoli di dato perimetro, quello di area massima è un quadrato.
- Il numero
di Nepero [nome latinizzato dello scozzese John Napier (1550-1617)]: come si definisce? Perché la derivata di è ? - Come si definisce
! ( fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio? Quale è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perchè? - Se
, per quanti numeri reali è ? Si illustri il ragionamento seguito. - I centri delle facce di un cubo sono i vertici di un ottaedro. E’ un ottaedro regolare? Quale è il rapporto tra i volumi dei due solidi?
- Si calcoli, senza l’aiuto della calcolatrice, il valore di:
ove le misure degli angoli sono in gradi sessagesimali.
- Si dimostri, calcolandone la derivata, che la funzione
è costante, indi si calcoli il valore di tale costante.
SOLUZIONI QUESTIONARIO
1) Detto
Quindi i due triangoli
che è il rapporto aureo. La metà del lato del decagono è quindi il seno di
2) Per poter utilizzare la quantità minima di materiale per costruire la lattina è necessario minimizzare la superficie del cilindro. Osserviamo che l’area
dove
Derivando rispetto a
3) Detta
che per
4) Detti
Quindi se
5) Il numero
Il limite del rapporto incrementale della funzione
dove si è sfruttato il limite notevole (deducibile direttamente dalla definizione di
6) Per ogni numero naturale
Questa formula si ottiene ricordando che il coefficiente binomiale
7) Raccogliendo
Quindi non esiste alcun valore di
8) L’ottaedro è regolare perchè ha tutti gli spigoli uguali. Esso è formato da due piramidi rette a base quadrata il cui lato è
9) Osservando che
10) Derivando si ottiene
Quindi