Il concetto di similitudine è innato: riconosciamo lo stesso oggetto se è più o meno distante da noi, perché
conserva la stessa forma.
In geometria il concetto di similitudine è legato al possesso di alcune proprietà: due o più poligoni sono
simili se hanno gli angoli a due a due congruenti e se hanno i lati corrispondenti proporzionali.
Spesso non è così semplice rilevare la similitudine poiché i lati corrispondenti non sono paralleli.
Corrispondenza:
vertici D e G
vertici A e H
vertici B e E
vertici C e F
lati AD e HG
lati DC e GF
lati BC e EF
lati AB e HE
In alcuni casi è molto semplice e efficace la costruzione per disegnare poligoni simili.
Poligoni regolari con ugual numero di lati sono simili.
Poligoni simili e proporzioni
esempi di proporzioni con i lati corrispondenti:
$E F / A B=E H / A D$
$HG / DC = GF / CB$
$E H / A D=H G / D C$
$…$
esempi di proporzioni con segmenti corrispondenti (coppie di segmenti corrispondenti formano una proporzione):
$FH / BD = EH / AD$
$EF / AB = FH / BD$
$…$
esempi di proporzioni con i perimetri corrispondenti (proprietà del comporre):
$2 P(E F G H) / 2 P(A B C D)=E F / A B$
$2 P(E F G H) / 2 P(A B C D)=H E / D A$
$…$
considerando invece le aree corrispondenti il ragionamento è più complesso:
calcoliamo le aree (ad esempio contando i quadrati che formano i due trapezi)
$A(E F G H)=22,5$
$A(A B C D)=10 $
$A(E F G H) / A(A B C D)=22,5 / 10=2,25=(1,5)^2$
calcoliamo il rapporto tra due lati corrispondenti:
$EF =9$
$A B=6$
$E F / A B=9 / 6=1,5$
abbiamo verificato che il rapporto tra le aree corrispondenti è uguale al quadrato del rapporto tra due lati corrispondenti (in seguito verificheremo ancora la proprietà del rapporto delle aree di poligoni simili)
esempi di proporzioni con segmenti corrispondenti:
$F G / A B=E G / A C $
$F H / D B=E G / A C$
$E Y / A X=E F / A B$
esempi di proporzioni con perimetri corrispondenti:
$2 P(E F G H) / 2 P(A B C D)=F H / D B
$
esempi di proporzioni con aree corrispondenti:
$A(E F G H) / A(A B C D)=(F G / A B)^2
$
Esempi molto significativi di rapporto tra le aree corrispondenti
Osservando i primi tre esempi (triangolo-rettangolo-rombo) notiamo che raddoppiando o triplicando il lato
della figura iniziale, mentre il perimetro raddoppia o triplica, l’area si moltiplica rispettivamente per quattro
o per nove. Nel quarto esempio mentre i lati del rettangolo sono moltiplicati per 1,5 (anche il perimetro è
moltiplicato per 1,5), l’area è moltiplicata per 2,25 (cioè 1,5*1,5=1,52).
Ricordiamo ancora che il rapporto tra le aree di poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto tra i lati
corrispondenti (o tra i perimetri).
Teorema di Talete e similitudine nei triangoli
Il teorema di Talete è uno dei più applicati della geometria e il suo enunciato è molto noto: “Un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali genera coppie di segmenti direttamente proporzionali”.
E ’stato inserito ora nella lezione perché viene applicato assieme al suo inverso per dimostrare i criteri di similitudine dei triangoli.
Per prendere visione delle dimostrazioni rigorose del teorema di Talete, del suo inverso e dei criteri di similitudine dei triangoli vedere apposita lezione, poiché queste pagine sono dedicate ad alunni della scuola secondaria di primo grado e questi argomenti sono solo giustificati.
Per giustificare il teorema di Talete si disegnano le rette su carta quadrettata o si utilizza un software di geometria dinamica che ci permette di tracciare una griglia, di misurare i segmenti e di calcolare automaticamente il loro rapporto spostando col puntatore le rette parallele.
Vedremo al termine dell’argomento alcune applicazioni de teorema di Talete.
Similitudine nei triangoli
Come tutti i poligoni due triangoli sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti e se hanno proporzionali le coppie di lati corrispondenti.
Criteri di similitudine dei triangoli
Sono teoremi che si dimostrano (vedere lezione specifica) grazie al teorema di Talete diretto e inverso e a
partire dai criteri di similitudine già dimostrati.
Ci permettono di stabilire se due triangoli sono simili conoscendo tre dei sei elementi (lati e/o angoli).
Per giustificarli si consiglia di disegnare, per ogni criterio, due triangoli tenendo conto solo degli elementi
enunciati in quel criterio e successivamente di verificare che anche gli altri elementi corrispondono a quelli
del criterio generale di similitudine (due poligoni sono simili se hanno gli angoli a due a due congruenti e
se hanno i lati corrispondenti proporzionali).
Primo criterio
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti (osserviamo che poiché la somma
degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto possiamo non considerare il terzo angolo).
Secondo criterio
Due triangoli sono simili se hanno congruente un angolo e se hanno proporzionali i lati che lo formano.
Terzo criterio
Due triangoli sono simili se hanno i lati corrispondenti proporzionali.
Applicando il primo criterio di similitudine dei triangoli possiamo dimostrare i due teoremi di Euclide sul
triangolo rettangolo.
Dobbiamo fare molta attenzione nel rilevare i lati corrispondenti nei triangoli simili.
Primo teorema di Euclide sul triangolo rettangolo
Un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto su di essa
(oppure: Il quadrato avente per lato un cateto è equivalente al rettangolo avente per lati l’ipotenusa e la
proiezione del cateto su di essa).
Applicando al triangolo ABC due volte il primo teorema di Euclide possiamo dimostrare il teorema di Pitagora.
Consideriamo il triangolo dato $ABC$ ( $\hat{ C }$ angolo retto) e il triangolo $AHC$. Hanno entrambi un angolo retto e hanno in comune l’angolo $\widehat{ A }$.
Pertanto sono simili per il primo criterio e possiamo scrivere la proporzione:
$$
A B: A C=A C: A H
$$
Applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni otteniamo:
$$
A C^2=A B+A H
$$
Considerando invece i triangoli $ABC$ e $BCH$ (simili per motivi analoghi) possiamo scrivere:
$$
AB \text {; BC }= BC \text {; } BH \text { da cul applicando la proprietà fondamentale: } BC ^2= AB * BH
$$
Osserviamo infine come i due rettangoli AEKH e BDKH, sommati, formino il quadrato ABDE (costruito sull’ipotenusa).
Abbiamo cosi dimostrato il teorema di Pitagora.
Secondo teorema di Euclide sul triangolo rettangolo
L’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti su di essa
(oppure: Il quadrato avente per lato l’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per
lati le proiezioni dei cateti su di essa).
Consideriamo i triangoli rettangoli AHC e ABC. Hanno in comune l’angolo $\hat{ A }$ e pertanto sono simili per il primo criterio. Consideriamo poi $i$ triangoli rettangoli BHC e ABC. Hanno in comune l’angolo $\widehat{B}$ e pertanto sono simili per il primo criterio.
Quindi per la proprietà transitiva AHC e BHC sono simili.
I lati sono proporzionali: $\quad AH : CH = CH : HB$
Applicando la proprietà fondamentale otteniamo:
$$
CH ^2= AH * HB
$$
Estrazione grafica di radice quadrata col secondo teorema di Euclide
Dobbiamo per esempio determinare $\sqrt{16}$.
Scegliamo due fattori qualsiasi il cui prodotto sia 16 : ad esempio e 8.
Tracciamo adiacenti due segmenti di lunghezza 2 e 8 \la cui somma 10 sia il diametro di una semicirconferenza.
Determinato il punto medio 0 del diametro, tracciamo la semicirconferenza di raggio XO.
Innalziamo da T (estremo in comune dei due segmenti XT e TY) la perpendicolare al diametro. Essa incontra la semicirconferenza nel punto-
La lunghezza del segmento TZ (4 …) è $\sqrt{16}$.
Dobbiamo per esempio determinare $\sqrt{16}$.
Scegliamo due fattori qualsiasi il cui prodotto sia 16: ad esempio 2 e 8 .
Tracciamo adiacenti due segmenti di lunghezza 2 e 8 … la cui somma 10 … sia il diametro di una semicirconferenza.
Determinato il punto medio $O$ del diametro, tracciamo la semicirconferenza di raggio XO.
Innalziamo da T (estremo in comune del due segmenti XT e TY) la perpendicolare al diametro. Essa incontra la semicirconferenza nel punto $Z$.
La lunghezza del segmento $\operatorname{TZ}(4 \ldots)$ è $\sqrt{16}$.
Applicazioni teoriche e pratiche del teorema di Talete e della similitudine
Determinazione dell’altezza di un albero
Per determinare l’altezza di un albero o di un obelisco o di una piramide basta disporre di un bastone, di cui si conosce la lunghezza, che sia piantato nel terreno.
Risolviamo il problema scrivendo una proporzione (di cui conosciamo tre dei quattro termini):
alt (albero):lung (bastone) $=$ ombra (albero):ombra (bastone) (x)
Distanza tra Ce D punti inaccessibili
L’osservatore è nel punto $O$. Conosce le distanze OC, OA, AB. La proporzione: $C D: A B=O C$ : $O A$ permette di risolvere il problema. (x)
$$
CD =\frac{ AB { }^* OC }{ OA }
$$
Divisione di un segmento in parti uguali
Per suddividere il segmento $A B$ in sette parti uguali disegniamo il segmento $A C$ (con l’estremo $A$ in comune) in modo tale che $A C$ misuri esattamente sette volte la lunghezza di un tratto della quadrettatura $e$, dopo aver tracciato $CB$, tracciamo, se il foglio non è già quadrettato, le parallele ad esso per i punti in cui abbiamo diviso esattamente $A C$.
Il segmento $A B$ sarà cosi suddiviso in sette parti uguali.
Baricentro del triangolo e suddivisione delle mediane
Tracciamo le mediane del triangolo ABC. Il punto in cui si intersecano, $O$, il baricentro, divide ogni mediana in due parti, una lunga il doppio dell’altra.
Tracciamo il parallelogrammo DEFG in modo che GD sia parallelo alla mediana $CM$. Risulta che $DE = GF = AB / 2$ poiché i triangoli $ABC$ e GFC sono simili per il secondo criterio.
Anche i triangoli $A O B$ e $D O E$ sono simili (per il primo criterio) e quindi: $A O=2^* O D$ e poiché $O D=O F$ ne deriva che $A O=2^* O F$, Ugualmente possiamo ricavare per le altre mediane.
Teorema delle due corde secanti (Euclide)
Se due corde di un cerchio si intersecano, il rettangolo che ha per dimensioni le parti di una corda è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le parti dell’altra corda.
$$
A O^* OB = CO ^* OD
$$
Infatti, se consideriamo i triangoli AOC e BOD, osserviamo che sono simili per il primo criterio avendo AÔC e BÔD congruenti perché opposti al vertice, $ACD$ e $ABD$ congruenti perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco.
Possiamo scrivere la proporzione:
$A O: O D=C O: O B$ e applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni:
$$
AO * OB = CO { }^* OD
$$
Questa dimostrazione non è quella di Euclide.
Omotetia e similitudine
Figure omotetiche sono sempre simili, ma non viceversa.
Per il momento affermiamo che le figure omotetiche non sono solo simili, ma anche similmente disposte.
Esercitiamoci con le figure precedenti, utilizzando i diagrammi di Euler – Venn, nella classificazione.
Due poligoni sono omotetici se il rapporto tra le distanze tra due punti corrispondenti e un punto detto
centro di omotetia è costante.
Il rapporto si dice rapporto di omotetia e si indica con K.
Se le due figure sono dalla stessa parte rispetto al centro di omotetia, l’omotetia è diretta; se invece le due
figure sono da parti opposte rispetto al centro, l’omotetia è inversa e il rapporto di omotetia è un numero
negativo.
In entrambi i tipi di omotetia le figure mantengono lo stesso verso.
Se K = -1 l’omotetia inversa coincide con la simmetria centrale.
Le figure omotetiche sono simili e possiamo scrivere le proporzioni già applicate nella similitudine. Inoltre le
figure omotetiche sono similmente disposte: i lati corrispondenti sono a due a due paralleli.
Le figure omotetiche possono essere concepite anche nello spazio tridimensionale.
Il pantografo: strumento per tracciare figure omotetiche
Didascalia:
O centro di omotetia fissato con un perno (es. puntina) al tavolo da disegno A-B-C-D perni; si usano quattro aste rigide, uguale a due a due, articolate
C punto medio di DE
A punto medio di OD
E punta scrivente se B è la punta che segue il tracciato della figura da ingrandire
B punta scrivente se E è la punta che segue il tracciato della figura da ridurre
Questo pantografo permette di disegnare omotetie in cui il rapporto di omotetia k può essere o 0,5 o 2 a seconda del suo impiego.
Fissato O, centro di omotetia, al tavolo da disegno, se vogliamo che la figura omotetica sia ingrandita del doppio rispetto all’originale, poniamo la punta tracciante in E e quella che segue ll tracciato della figura data in B.
Se invece la figura omotetica deve essere rimpicciolita (la metà) rispetto a quella originale, poniamo la punta tracciante in B e la punta che segue i contorni della figura da rimpicciolire in $E$.
Variando la disposizione dei perni $A$ e $C$ (il quadrilatero $ABCD$ deve essere ancora un parallelogrammo), possiamo variare $K$.