Il rapporto apotema lato nel poligono regolare viene determinato attraverso l’uso della tangente e il calcolo dell’area.
La determinazione dell’area del poligono regolare (ad eccezione di quella del triangolo equilatero, del
quadrato, dell’esagono regolare) viene solitamente affrontata in modo esclusivamente mnemonico con
l’uso acritico dei cosiddetti numeri fissi per calcolare l’apotema.
Penso che gli studenti del secondo anno della scuola secondaria di primo grado possano affrontare
l’argomento in modo approfondito, introducendo il concetto di tangente trigonometrica, definita
ovviamente, data l’età degli allievi, come lunghezza del segmento di tangente AB alla circonferenza di
raggio unitario.
Consideriamo ora un poligono regolare di n lati circoscritto al una circonferenza di raggio unitario:
Osserviamo che in tutti i poligoni regolari con un certo numero di lati il rapporto apotema/lato è costante
perché sono simili tra loro e pertanto:
$$
f=\frac{1}{2 \tan \alpha}=\frac{\text { apotema }}{\text { lato }}
$$
Nella tabella seguente (è la schermata di un mio programma) è elencato il rapporto f nei poligoni regolari.
Dalla formula precedente derivano: apotema = lato * f e lato = apotema / f .
I valori sono approssimati, poiché sono numeri irrazionali (solo nel quadrato il rapporto è razionale).
Ora possiamo finalmente calcolare l’area del poligono regolare.
Tracciando i segmenti che uniscono il centro del cerchio inscritto con i vertici del poligono, lo suddividiamo
in tanti triangoli isosceli (o equilateri nell’esagono regolare) quanti sono i lati e disponiamo le loro basi
consecutivamente sulla stessa retta.
Tracciamo poi una seconda retta parallela alla prima: la loro distanza equivale all’apotema del poligono.
Unendo un punto qualsiasi della retta passante per i vertici con i punti A e B, otteniamo il triangolo ABC
formato da tanti triangoli equivalenti tra loro ed equivalenti a ciascuno dei triangoli isosceli in cui il
poligono regolare è stato suddiviso (hanno tutti uguali base e altezza).
$$ A (poligono regolare) =perimetro \cdot apotema / 2$$
Da questa formula ne ricaviamo un’altra osservando che: perimetro $= n \cdot lato$ e che $apotema = f \cdot lato$
$A (poligono regolare) = n \cdot f \cdot l^2 / 2$ e sostituendo $n \cdot f / 2$ con $K$, si ha:
$$
A \text { (pol.reg.) }=K^* \text { lato }^2
$$
Nella tabella sottostante (ricavata dalla schermata di un mio programma) è mostrato il valore della costante $K$ (è un numero irrazionale, eccetto che nel quadrato, e quindi il suo valore è stato approssimato).
Il secondo metodo per calcolare l’area è utile soprattutto perché ci permette di ricavare la formula inversa:
$$
\text { lato }=\sqrt{\frac{\text { Area }}{K}}
$$
.