Quadratura del cerchio

Il problema della rettificazione della circonferenza e quello equivalente della quadratura del cerchio, non possono essere risolti alla maniera degli antichi greci, cioè con l’uso esclusivo di riga e compasso.
Tuttavia, esistono soluzioni approssimate di questo problema.

Una di queste fu scoperta nel 1685 da Adam Kochansky, un Gesuita che lavorava come bibliotecario del re Giovanni di Polonia.

In figura è illustrata la “quadratura approssimata del cerchio di Kochansky”. In effetti si tratta (linee in rosso) del problema della rettificazione di una semicirconferenza.

La costruzione geometrica di Kochansky è stata realizzata impiegando AutoCAD, nel modo seguente: Si sono tracciati:

un cerchio di centro $O$ e diametro $A B$ ed una retta $t$ tangente al cerchio nel punto $B$;
con centro in $B$, un arco di raggio $B O$ che interseca il cerchio nel punto $C$;
con centro in $C$ e con la stessa apertura di compasso, un secondo arco, che interseca il primo nel punto $D$;
la retta DO, che interseca la retta $t$ nel punto $E$.

Poi, tenendo sempre fissa l’apertura del compasso sul valore iniziale BO, si sono riportati successivamente, partendo da $E$, i punti $F, G$, ed $H(E F=F G=G H=B O)$.

Infine si sono uniti i punti $A$ ed $H$.
Avendo eseguito la costruzione con un valore dell’apertura del compasso $BO =1$, secondo i calcoli di Kochansky, il segmento AH così ottenuto dovrebbe valere: (1)

$AH =3,141533$

che è appunto l’approssimazione di $\pi$ trovata da Kochansky, con un errore di circa 1 su 16000. AutoCAD ci dà la possibilità di verificare subito tale grado di precisione.

Usando il comando “List” sull’oggetto segmento $AH$, si ottiene infatti in “Text Window” il seguente output:

        LINE Layer: 0
            Space: Model space
        Color: 1 (red) Linetype: BYLAYER
        Handle = 56
    from point, X=2.422650 Y= 0.000000 Z=0.000000
        to point, X= 0.000000 Y= 2.000000 Z=0.000000
Length = 3.14153334, Angle in XY Plane = 140
        Delta X = -2.422650, Delta Y = 2.000000, Delta Z=0.000000

LA LUNULA DI IPPOCRATE

Abbiamo visto come il cerchio possa essere quadrato, ma solo in maniera approssimata. Tuttavia, con semplici procedimenti geometrici, è possibile quadrare esattamente alcune parti del cerchio, come ad esempio la “lunula di lppocrate”.

Consideriamo in figura la “lunula” (parte tratteggiata in blu) delimitata dai due archi di circonferenza aventi raggio 1 e $2^{1 / 2}$ rispettivamente. Cerchiamo di quadrare questa parte di cerchio, cioè determiniamone l’area attraverso la costruzione (con riga e compasso) di una figura ad essa equivalente.

Distinguiamo, oltre alla lunula sopra detta che indichiamo con la lettera $L$, le seguenti altre due figure: il segmento circolare $S$ tratteggiato in rosso ed il triangolo $T$ tratteggiato in verde.

L’area del quarto di cerchio composto dalle figure $T$ ed $S$ vale:

$T + S =(1 / 4) \cdot\left(2^{1 / 2}\right)^2 \cdot \pi=\pi / 2$

L’area del semicerchio composto dalle figure $L$ ed $S$ vale:

$L+S=\pi / 2$

quindi si ha: $T=\pi / 2$ – $S$ ed $L=\pi / 2-S$, cioè: $L=T$. Il triangolo $T$ è la figura che volevamo costruire. (2)

NOTE

(1) Calcolando, si ha:
$$
\begin{array}{l}
EB = OB \cdot \tan 30^{\circ}=0,577350 \
BH =3- EB =2,422650 \
AH =\left( AB + BH ^2\right)^{1 / 2}=3,141533
\end{array}
$$

L’approssimazione di Kochansky si ottiene quindi con un angolo EOB di $30^{\circ}$, che è costruibile con riga e compasso, come richiesto.

Viene da chiedersi quale sia il valore dell’angolo EOB che “costruisce” esattamente $\pi$. Impiegando ancora AutoCAD in questa indagine, ed eseguendo la costruzione al contrario, si è ottenuto il risultato mostrato nella figura seguente:

Il valore di $EOB$ che dà $\pi$ è molto vicino a $30^{\circ}$.

(2) Se si considera poi che il triangolo $T$ equivale ad un quadrato di lato $=1$, il termine “quadratura” risulta propriamente detto.