Ecco qui un esempio di come sia possibile impiegare un foglio elettronico per trovare la soluzione di un complicato problema di matematica presentato agli inizi del 900 e noto come “problema delle noci di cocco”.
Cinque uomini fanno naufragio su un’isola. Non trovano niente da mangiare tranne moltissime noci di cocco; inoltre trovano una scimmia. Decidono allora di dividere le noci di cocco in cinque parti uguali lasciando quanto resta alla scimmia.
Nel mezzo della notte, uno dei naufraghi sente improvvisamente fame e decide di prendersi subito la sua parte di noci di cocco. Nel far questo scopre che, dividendo per cinque il numero di noci, si ha come resto 1 ; così egli dà una noce di cocco alla scimmia, prende il suo quinto e riammassa tutte le altre noci.
Poco dopo si sveglia un secondo naufrago e fa esattamente la stessa cosa: dà alla scimmia una noce, prende il suo quinto e riammassa il resto. Lo stesso fanno gli altri tre.
La mattina dopo tutti si alzano, dividono quanto resta delle noci in parti uguali e trovano ancora una noce di resto da lasciare alla scimmia.
Quante erano all’inizio le noci di cocco?
I calcoli possono essere organizzati su un foglio elettronico nel modo seguente: nel primo campo si elencano i possibili numeri interi che danno le ipotetiche quantità del monte finale delle noci.
Nei cinque campi successivi si introducono le formule di calcolo per ottenere, a ritroso, le quantità di noci che ciascun naufrago trova di notte a propria disposizione. II sesto campo conterrà quindi i valori del monte iniziale delle noci.
Vediamo ora quali sono i valori da introdurre nel primo campo.
Analizzando le azioni del mattino, questi numeri devono essere numeri divisibili per 5 aumentati di 1 ; inoltre, affinchè da essi si possa ricostruire il monte precedente aggiungendo $1 / 4$, devono essere numeri divisibili per 4 .
Per ottenerli, usiamo il foglio elettronico nel modo seguente:
La sequenza dei numeri da inserire nel primo campo si trova in corrispondenza dei numeri interi della terza colonna ed è quella evidenziata in giallo. Il primo numero è 16 e gli altri si ottengono sommando successivamente al primo il numero 20 (che è il più piccolo numero divisibile per 5 e per 4 ).
Per ricostruire le quantità dei monti nei campi successivi basterà aumentare di $1 / 4$ le quantità del campo precedente e sommare 1.
Le formule da introdurre nei primi 2 record sono le seguenti:
Poi basterà copiare in basso le formule del secondo record e si ottiene la seguente tabella:
Naturalmente, la soluzione che cerchiamo si troverà nel primo record contenente una sestupla di numeri interi:
Quindi all’inizio le noci di cocco erano 15621. Proseguendo la ricerca di sestuple intere nel foglio elettronico, ne troviamo una seconda:
ed una terza:
e se ne incontriamo altre ancora, tutte distanziate da 5120 unità:
Si potrebbe perciò affermare, per il principio di induzione, che esistono infinite soluzioni di questo problema.
NOTE
(1) La tabella finale è interessante per alcune curiose regolarità in essa presenti, ad esempio: la sequenza dei valori del terzo monte si ottiene dal primo valore sommando successivamente il numero 10000, ed ancora: ogni record si ottiene dal precedente sommando i valori del primo record +4 .
(2) Il premio Nobel per la fisica Paul Dirac, diede di questo problema una soluzione matematicamente corretta, il cui record, in una tabella costruita come sopra, sarebbe il seguente:
Ogni naufrago trova -4 noci, ne sottrae una ottenendone -5 , ne prende $1 / 5$ lasciandone così -4 al naufrago successivo, o al monte finale.
Questa soluzione è chiaramente irrealizzabile; se però alla tabella applichiamo la regola scoperta in nota (1), secondo cui ogni record si otterrebbe dal precedente sommando i valori del primo record +4 , otteniamo un’altra soluzione, questa volta fin troppo realistica, che è quella in cui i naufraghi son destinati a morire di fame, non avendo trovato sull’isola alcuna noce.
Si può ancora osservare che la sestupla di Dirac si può ottenere applicando la regola sopra detta al primo record della tabella delle soluzioni, ma al contrario, cioè sottraendo da essi stessi i valori del primo record +4 ; ciò a conferma della correttezza matematica della soluzione di Dirac.
Si dice che questa soluzione negativa abbia avuto una certa influenza sul pensiero di Dirac, che poi avrebbe introdotto il concetto di antimateria.
LA FORMULA RISOLVENTE
Proseguendo con le osservazioni sul foglio elettronico generale, si può ancora notare che le sequenze dei risultati interi crescono ordinatamente in corrispondenza dei record n. 1, 4, 16, 64, 256 (le potenze del numero 4):
Si intravede la possibilità di ottenere da questa tabella una formula per calcolare il numero delle noci dei monti evidenziati in grassetto, cioè la soluzione matematica del nostro problema.
Indicando con $n$ il numero d’ordine del monte ( numero verde) ed adoperando in modo appropriato i numeri 4 e 5 , caratteristici del problema, si trova che:
I valori del campo “monte finale”, che indicheremo con $M { f ( n ) \text {, si possono calcolare nel modo }}$ seguente:
$$ M{4(n)}=5 \cdot 4^n-4
$$
ad esempio, per il monte al numero 3 :
$$
M_{\text {f(3) }}=5 \cdot 4^3-4=316
$$
I valori dell’ennesimo monte, che indicheremo con $M_{(n)}$, si ottengono reiterando $n$ volte l’aggiunta di $1 / 4+1$, cioè nel seguente modo tipico, valido per $n=3$ :
$$
M_{(3)}=\left(\left(M_{t(3)} \cdot 5 / 4+1\right) \cdot 5 / 4+1\right) \cdot 5 / 4+1=$$
$$=M_{f(3)} \cdot(5 / 4)^3+(5 / 4)^2+5 / 4+1= $$
$$=316 \cdot(5 / 4)^3+(5 / 4)^2+5 / 4+1=621
$$
Generalizzando, si ottiene:
$$
M_{(n)}=M_{f(n)} \cdot(5 / 4)^n+(5 / 4)^{n-1}+\ldots+(5 / 4)^{n-n}
$$
cioè:
$$
M(n)=\left(5 \cdot 4^n-4\right) \cdot(5 / 4)^n+\Sigma_0^{n-1}(5 / 4)^n
$$
che è infine la formula che si cercava.
Questa formula dà, per ogni $n$, infinite soluzioni, in corrispondenza di tutti i valori multipli del numero 5 che compare all’inizio della formula, cioè per tutti i numeri divisibili per 5 che si possono impiegare per ottenere il monte finale (compreso lo zero, che dà un monte di -4 noci, secondo Dirac).