”Qual è il numero reale x il cui quadrato è uguale a -9?”
Non c’è soluzione a questo quesito poiché non esiste un numero reale x che al quadrato fornisca un numero negativo. Dobbiamo introdurre un nuovo insieme, di ampiezza maggiore, in modo tale da fornire una soluzione al quesito iniziale. Si tratta dei numeri complessi, con il suo corrispettivo insieme ¢.
DEFINIZIONE
Definiamo numero complesso ogni coppia ordinata (a;b) dei numeri reali.
Nell’insieme dei numeri complessi possiamo definire le operazioni di addizione, moltiplicazione ed elevamento a potenza.
ADDIZIONE
Dati due numeri complessi (a;b) e (c;d), la loro somma è il numero complesso definito dalla coppia (a+c; b+d).
- ESEMPIO
(2;4)+(6;-9)=(8;-5)
L’addizione gode della proprietà commutativa e associativa.
Il numero (0;0) è l’elemento neutro.
MOLTIPLICAZIONE
Dati due numeri complessi (a;b) e (c;d), il loro prodotto è il numero complesso definito dalla coppia (ac-bd; ad+bc).
- ESEMPIO
(2;14)(3;1)=(23-41;21+43)=(2;14)
La moltiplicazione gode della proprietà commutativa, associativa, distributiva rispetto all’addizione.
Il numero (1;0) è l’elemento neutro.
Ogni numero complesso (a;0) è identificato con il numero reale a; definiamo questo un numero complesso reale.
ELEVAMENTO A POTENZA
Si calcola il quadrato di un numero complesso svolgendo il prodotto del numero per se stesso.
- ESEMPIO
Questa proprietà ci permette di rispondere al quesito iniziale: il numero che elevato al quadrato da -9 è il numero complesso (0;3).
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