La velocità angolare è una grandezza che misura la velocità con cui un punto materiale si muove su una circonferenza, e viene definita come rapporto tra l’angolo descritto e l’intervallo di tempo impiegato a descriverlo:
$$\omega=\Delta \theta / \Delta t$$
Ad esempio, se consideriamo una ruota che gira intorno al suo asse, la velocità angolare della ruota ci indica quanto velocemente l’angolo tra un punto sulla circonferenza della ruota e un punto di riferimento sull’asse di rotazione della ruota sta cambiando. La velocità angolare può essere positiva se la rotazione avviene in senso antiorario o negativa se la rotazione avviene in senso orario.
Definizione e formule della velocità angolare
Se si parla di moto circolare, sia esso uniforme o accelerato, compare sempre una grandezza chiamata velocità angolare. In modo analogo a quanto abbiamo visto nella definizione di velocità media e di velocità istantanea, per definire questa nuova grandezza partiremo dalla definizione di velocità angolare media, in modo da comprenderne il significato fisico. Fatto ciò passeremo al caso generale ed introdurremo la velocità angolare istantanea.
Velocità angolare media
Se vi ricordate la definizione di velocità lineare media come il rapporto tra lo spostamento e il tempo impiegato per effettuarlo, allora non vi sarà difficile inquadrare la velocità angolare media come il rapporto tra l’angolo descritto da un punto in moto su una circonferenza e il tempo impiegato a descrivere tale angolo.
Se indichiamo $\operatorname{con} \theta=\theta(t)$ la posizione di un punto su una circonferenza, individuata da un angolo $\theta$ misurato in un sistema di riferimento fissato, ecco che la definizione si traduce matematicamente nella formula della velocità angolare media
$$
\omega_m=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{\theta_f-\theta_i}{t_f-t_i}
$$
Con la lettera $\omega_m$ indichiamo la velocità angolare media, con $\Delta \theta$ l’angolo descritto da un punto lungo una circonferenza e con $\Delta t$ l’intervallo di tempo impiegato dal punto per descrivere l’angolo $\Delta \theta$.
L’unità di misura della velocità angolare media è il radiante al secondo $( rad / s )$, dove vi ricordiamo che i radianti sono un’unità di misura degli angoli diversa rispetto ai soliti gradi e che è possibile convertire un’unità nell’altra mediante un’opportuna proporzione (in caso di dubbi: convertire i gradi in radianti).
Velocità angolare istantanea
Se vogliamo conoscere il valore della velocità angolare in un istante di tempo preciso dobbiamo fare riferimento alla velocità angolare istantanea. Per farlo possiamo partire dalla definizione di velocità angolare media e far tendere l’intervallo di tempo a zero, in modo da stringere l’intervallo di tempo fino a fargli assumere valori prossimi allo zero. Così facendo non otteniamo più un velocità media, bensì la velocità istantanea che il punto ha in un istante di tempo preciso.
In formule scriveremo
$$
\omega=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t}
$$
dove la dicitura che si trova davanti al rapporto ci dice che dobbiamo spingere l’intervallo di tempo a zero. Tale notazione indica un limite e si legge nel modo seguente: “limite per $\Delta t$ che tende a zero di [quel che segue]”.
La velocità istantanea si può anche scrivere in questo modo:
$$
\omega=\frac{d \theta}{d t}
$$
dove con la lettera $d$ si intende una variazione infinitesima (cioè piccolissima) della grandezza che segue. Per chi ha già studiato le derivate, la velocità angolare è la derivata della posizione angolare calcolata rispetto al tempo; dunque se conosciamo la legge che esprime la variazione dell’angolo descritto nel tempo, possiamo derivare tale legge rispetto al tempo per trovare $\omega$.
Velocità angolare nel MCU e nel MCUA
La velocità angolare in cinematica compare in alcune formule particolari del moto circolare uniforme e del moto circolare uniformemente accelerato. Vediamole nel dettaglio.
Se un punto si muove lungo una circonferenza con una velocità tangenziale costante in modulo, si parla di moto circolare uniforme. Poiché anche la velocità angolare è costante nel moto circolare uniforme, si può considerare un giro completo e ricavare la seguente formula:
$$
\omega=\frac{2 \pi}{T}
$$
dove con $T$ indichiamo il periodo, ovvero il tempo che il punto impiega a compiere un giro completo della circonferenza. Questa definizione non è nuova e discende direttamente dalla formula della velocità angolare media come rapporto tra l’angolo e il tempo.
Pensiamo ad un punto che percorre la circonferenza facendo un giro completo: l’angolo che ha descritto è di $360^{\circ}$ (che corrispondono a $2 \pi$ radianti) e il tempo impiegato corrisponde al periodo $T$. Ecco che si arriva allora alla formula che abbiamo scritto poco sopra.
Esiste inoltre una relazione tra la velocità angolare e la velocità tangenziale nel MCU, utile per svolgere gli esercizi:
$$
v=\omega r \quad ; \quad \omega=\frac{v}{r}
$$
La velocità angolare compare anche nella formula che ci permette di calcolare l’accelerazione centripeta:
$$
a_c=\omega^2 r \quad ; \quad \omega=\sqrt{\frac{a_c}{r}}
$$
Passando a considerare la velocità angolare nel moto circolare uniformemente accelerato, essa non è più costante e varia nel tempo. Abbiamo due formule in cui compare la velocità angolare, le quali normalmente vanno usate a sistema:
$$\begin{equation} \left\{\begin{array}{l} \theta=\frac{1}{2} \alpha t^2+\omega_0 t+\theta_0 \\ \omega=\omega_0+\alpha t \end{array}\right. \end{equation}$$
dove con $\omega$ indichiamo la velocità angolare finale e con $\omega_0$ quella iniziale. Ricordiamo che $\alpha$ è l’accelerazione angolare (costante nel tempo), $t$ il tempo, $\theta$ l’angolo finale e $\theta_0$ quello iniziale.