Una funzione da A a B si dice iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A.
Se una funzione è iniettiva, a due elementi distinti del dominio non corrisponde mai lo stesso elemento del codominio, cioè:
$x_1\neq x_2$ , $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ .
Una funzione da A a B si dice suriettiva quando ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A.
Il fatto che una funzione sia o non sia suriettiva dipende da come si sceglie l’insieme di arrivo. Se lo di sceglie coincidente con il codominio, la funzione è suriettiva.
Una funzione da A a B è biiettiva quando è sia iniettiva sia suriettiva.
Una funzione biiettiva viene anche chiamata biiezione o corrispondenza biunivoca fra A e B. In simboli:
In una funzione biiettiva c’è una corrispondenza uno a uno fra gli elementi di A e quelli di B. Ogni elemento di A è l’immagine di uno e un solo elemento di B e viceversa.
Una funzione $y=f(x)$ di dominio D si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti scelti $x_1$ e $x_2$ appartenenti a I, con $x_1>x_2$, risulta .
Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione $f(x_1)$ con , otteniamo la definizione di funzione crescente in senso lato. o anche non decrescente.
Una funzione $y=f(x)$ di dominio D si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se comunque scelti $x_1$ e $x_2$ appartenenti a I, con , risulta .
Se nella definizione precedente sostituiamo la relazione con , otteniamo la definizione di funzione decrescente in senso lato, o anche non crescente.
Una funzione si dice monotona in un intervallo I del suo dominio se in I è sempre crescente o sempre decrescente.
Indichiamo con D un sottoinsieme di tale che, se , allora . Una funzione $y=f(x)$ si dice pari se per qualunque x appartenente a D.
In generale, se una funzione polinomiale ha espressione analitica contenente soltanto potenze della x con esponente pari, allora è pari.
Indichiamo con D un sottoinsieme di tale che, se , anche . Una funzione si dice dispari in D se per qualunque x appartenente a D.
Una funzione polinomiale con espressione analitica contenente solo potenze della x con esponente dispari è una funzione dispari.
Sia una funzione biiettiva. La funzione inversa f è la funzione biiettiva che associa a ogni y di B il valore di x di A tale che .
Si ha quindi:
ma per poter rappresentare questa funzione nello stesso piano cartesiano di , operiamo la sostituzione:
e
Se f non è biiettiva, e quindi non è invertibile, possiamo operare una restrizione del dominio a un sottoinsieme in cui f risulti biiettiva.
Comporre le due funzioni:
e
significa considerare una terza funzione, detta funzione composta . che associa a ogni elemento di A un elemento di C nel seguente modo:
Se C=A, possiamo considerare contemporaneamente sia sia , ma in generale si ha:
ossia la composizione delle funzioni non è commutativa.
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