La superficie della sfera è uguale alla superficie laterale di un cilindro avente per base II cerchio massimo della sfera e per altezza il diametro di essa.
Dimostrando questa proposizione si dimostra anche che la superficie della sfera è 4 volte il suocerchio massimo. Infatti la superficie laterale del cilindro che consideriamo vale:
$$
S=2 \pi r^* 2 r=4 \pi r^2
$$
Dimostrazione:
Consideriamo due generici piani orizzontali distanti dr che tagliano le superfici della sfera e del cilindro, come in figura.
Dimostriamo che la superficie laterale del cilindro elementare di altezza $A ^{\prime} B ^{\prime}=$ dr è uguale alla superficie generata dalla rivoluzione del segmento $AB$ intorno all’asse $OP ^{\prime}$, cioè:
$$
dr * 2 \pi R = AB * 2 \pi r
$$
che equivale a dire:
$$
dr R=A B^* r
$$
oppure:
$$
dr / r = AB / R
$$
Ma questa proporzione è evidente nella figura, data la similitudine dei triangoli $OPP ^{\prime}$ ed $ABC$, formati da rette perpendicolari fra loro.
Se si prendono le distanze dr infinitamente piccole, in modo da rettificare gli archi $APB$, allora, sommando tutte le superfici elementari del cilindro e della spera, si ottengono due superfici uguali. C.V.D.
Da quanto sopra dimostrato, discende una interessante proporzione:
La superficie laterale di un cono avente base di raggio $R$ ed altezza $=R$, è media proporzionale fra la superficie laterale di una semisfera di raggio $R$ e la superficie di un cerchio di raggio $R$, con rapporto di proporzionalità $=12$
Mostriamo per semplicità solo le generatrici delle tre figure (che si ottengono per rivoluzione di queste intorno all’asse verticale passante per il punto O):
Calcoliamo $51 / 52$ :
$$
S 1 / S 2=2 \pi R^2 / \pi R^2 \sqrt{2}=21 \sqrt{2}=\sqrt{2}
$$
Calcoliamo poi $52 / 53$ :
$$
32153=\pi R^2 \sqrt{2} 1 \pi R^2=\sqrt{2}
$$
Per cui vale quanto sopra enunciato, cioè:
$$
S 1 / S 2=S 2 / S 3=\sqrt{2}
$$
Essendoci liberati nei calcoli del fattore $2 \pi$, la proporzione vale anche per una qualsiasi rotazione parziale delle tre generatrici intorno all’asse verticale passante per $O$, cioè nel caso più generale del semi-spicchio.
Si giunge cosi alla forma classica dell’enunciato, applicato alle “unghie” o semi spicchi: sferico, conico e piano della figura seguente:
