La successione di Fibonacci è una successione di numeri interi naturali definita come segue:
$$
\begin{array}{l}
F_n=F_{n-2}+F_{n-1} \quad \forall n \geq 2 \
F_0=0 \
F_1=1
\end{array}
$$
Lo sviluppo di tale successione è:
$$
\left(F_n\right)={0,1,1,2,3,5,8,13,21,34, \ldots \ldots}
$$
La proprietà principale della successione è quella per cui:
$$
\lim {n \rightarrow \infty} F_n / F{n-1}=\Phi \quad \text { (sezione aurea) }
$$
dove:
$$
\Phi=(1+\sqrt{5}) / 2=1,6180339 \ldots
$$
Naturalmente il rapporto fra $F_n$ ed il suo successivo tenderà al reciproco della sesione aurea:
$$
\lim {n \rightarrow \infty} F{n-1} / F_n=\phi=(1-\sqrt{5}) / 2=-0,6180339 \ldots
$$
Ogni elemento della successione di Fibonacci si ottiene dalla formula di Binet:
$$
F_n=\left(\Phi^n-\phi^n\right) / \sqrt{5} \quad \forall n \in N_0
$$
Per mostrare la validità della formula di Binet, consideriamo la differenza:
$$
\Delta_n=\Phi^n-\phi^n=((1+\sqrt{5}) / 2)^n-((1-\sqrt{5}) / 2)^n
$$
Calcolando queste differenze in corrispondenza dei primi numeri naturali si ottiene:
$$
\begin{array}{l}
\Delta_0=\Phi^0-\phi^0=0 \
\Delta_1=\Phi^1-\phi^1=\sqrt{5} \
\Delta_2=\Phi^2-\phi^2=\sqrt{5}
\end{array}
$$
Si potrebbe a questo punto affermare che i due risultati precedenti, uguali fra loro e di valore $\sqrt{5}$, possono essere ottenuti solo servendosi del numero aureo e del suo reciproco.
Infatti, dal sistema seguente:
$$
x-y=\sqrt{5}
$$
$$
x^2-y^2=\sqrt{5}
$$
si ottiene la soluzione unica:
$$
\begin{array}{l}
x=(1+\sqrt{5}) / 2=\Phi=1,6180339 \ldots \
y=(1-\sqrt{5}) / 2=\phi=-0,6180339 \ldots
\end{array}
$$
Il numero $\sqrt{5}$ sembra quindi essere un ottimo candidato per costruire una successione:
$$
\left(\Delta_n\right)=\left(F_n\right) * \sqrt{5}={0,1 \sqrt{ } 5,1 \sqrt{5}, 2 \sqrt{ } 5,3 \sqrt{ } 5,5 \sqrt{5}, 8 \sqrt{ } 5,13 \sqrt{5}, \ldots \ldots}
$$
Proseguendi infatti con i calcoli sopra interrotti, si ha:
$$
\begin{array}{l}
\Delta_3=\Phi^3-\phi^3=2 \sqrt{5} \
\Delta_4=\Phi^4-\phi^4=3 \sqrt{5} \
\Delta_5=\Phi^5-\phi^5=5 \sqrt{5} \
\Delta_6=\Phi^6-\phi^6=8 \sqrt{5}
\end{array}
$$
La successione dei risultati prosegue per induzione matematica con valori che sono tutti multipli interi di $\sqrt{5}$ e che nel loro insieme ordinato riproducono esattamente la successione di Fibonacci. Si ha cioè:
$$
\Delta_n=\Phi^n-\phi^n=F_n * \sqrt{ } 5 \quad \forall n \in N_0
$$
e la validità della formula di Binet (6) risulta così verificata.
La formula di Binet appare a prima vista sorprendente per come da essa, costituita da elementi irrazionali, si ottengano variando n solo numeri naturali. In effetti si può vedere, eseguendo i calcoli (B) per trovare i $\Delta_{ n }$, come tutte le radici si elidano lasciando numeri naturali come risultato finale.
Eseguiamo ora un’analisi di quanto sopra esposto utilizzando un foglio elettronico. Organizziamo il foglio nel modo seguente, introducendovi le formule come mostrato:
Calcolando si ottiene:
La prima colonna del foglio contiene la successione dei numeri naturali $N_0$.
La seconda mostra la corrispondente successione di Fibonacci.
Nella terza colonna si vede come i termini della successione (3) tendono alla sezione aurea $\Phi$, per $n$ tendente ad infinito.
Stessa cosa come sopra nella quarta colonna per i termini della successione (4), tendenti al numero $\phi$.
Le colonne quinta e sesta servono per calcolare la settima.
La settima colonna, calcolata con la (7) al variare di $n$, contiene la successione dei valori ottenuti sopra con I calcoli (8).
In ottava colonna sono elencati i valori ottenuti dalla formula di Binet (6) variando $n$, che corrispondono esattamente ai valori della seconda colonna, cioè alla successione di Fibonacci.
MODELLI
Come al solito, anche questa volta ho cercato modelli geometrici, trovando per le formule (B) che calcolano le differenze $\Delta_n$, le seguenti curiosità.
1. Per $ \Delta_1$ si trova, nello spazio $R$ :
Sull’ipotenusa del triangolo rettangolo in figura, che vale $\sqrt{5}$, si possono costruire i segmenti di lunghezza $\Phi$ e $\phi$, come mostrato. Si vede come:
$$
\Delta_1=\Phi^1-\phi^1=\sqrt{5} 4 \text { (unità lineari) }
$$
2. Per $\Delta_2$ si trova, nello spazio $R^2$ :
Il quadrato di lato $\Phi$ in fig. A può essere trasformato in $B$ nella figura ad $L$ di pari superficie. In fig. C si vede come:
$$
\Delta_2=\Phi^2-\phi^2=\sqrt{5} U ^2
$$
3. Per $\Delta_3$ si trova, nello spazio $R ^3$ :
Per trasformazioni successive si ottiene dal solido in fig. A il solido in fig. $C$ di pari volume. In fig. D si vede come tale solido possa essere scomposto nella somma di due parallelepipedi di volume pari a $\sqrt{ } 5 L ^3$, essendo: $\Phi-\phi=1$ e $\Phi * \phi=1$. Quindi si ha:
$$
\Delta_3=\Phi^3-\phi^3=2 \sqrt{5} 4^3
$$