Uno dei problemi classici che portarono al concetto di derivata è quello della determinazione della retta tangente a una curva in un punto. Per ogni circonferenza, e in generale per ogni conica, la tangente in un punto P è quella retta che interseca la conica stessa soltanto in P. Potremmo pensare di definire la tangente a una qualunque curva mediante tale proprietà.
DEFINIZIONE
La retta tangente t a una curva in un punto P è la posizione limite, se esiste, della secante PQ al tendere (sia da destra sia da sinistra) di Q a P.
Consideriamo una funzione$y=f(x)$ e troviamo l’equazione della tangente in un suo punto applicando la definizione appena data. Dobbiamo innanzitutto considerare il rapporto incrementale.
DEFINIZIONE
Dati una funzione $y = f (x)$, definita in un intervallo [a; b], e due diversi numeri reali c e c + h interni all’ intervallo, si chiama rapporto incrementale di f (relativo a c) il numero:
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$$
La derivata di una funzione
Data una funzione $y = f (x)$, definita in un intervallo [a; b], si chiama derivata della funzione nel punto c interno all ’intervallo, e si indica con f ‘(c), il limite, se esiste ed è finito, per h che tende a 0, del rapporto incrementale di f relativo a c:
$$f'(c)=\lim \underset{h\rightarrow 0 }{} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}$$
La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di ascissa c.
Una funzione si dice derivabile in un punto c se esiste la derivata f l(c). Affinché una funzione sia derivabile in c occorre quindi che siano verificate le seguenti condizioni:
- la funzione è definita in un intorno del punto c;
- esiste il limite del rapporto incrementale, relativo a c, per h che tende a 0, cioè esistono il limite destro e il limite sinistro di tale rapporto e tali limiti coincidono;
- questo limite è un numero finito.
Se il limite per h che tende a 0 del rapporto incrementale di una funzione in un punto non esiste o è infinito, si dice che la funzione non è derivabile in quel punto.
La derivata sinistra e la derivata destra
Poiché la derivata è il limite del rapporto incrementale, in analogia a quanto abbiamo detto per i limiti, possiamo definire la derivata sinistra e la derivata destra di una funzione.
La derivata sinistra di una funzione in un punto c è:
$$f’\underset{-}{} (c)=\lim \underset{h\rightarrow 0\overset{-}{} }{} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}$$
La derivata destra di una funzione in un punto c è:
$$f’\underset{+}{} (c)=\lim \underset{h\rightarrow 0\overset{+}{} }{} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}$$
Una funzione è derivabile in un punto c se esistono finite e uguali tra loro la derivata sinistra e la derivata destra.
DEFINIZIONE
Una funzione y = f (x) è derivabile in un intervallo chiuso [a; b] se è derivabile in tutti i punti interni di [a; b] e se esistono e sono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b.
ESEMPIO
La funzione y=|x| è derivabile nell’intervallo [0; 2]. Infatti:
• si può dimostrare che è derivabile in tutti i punti interni dell’intervallo;
• esistono la derivata destra in 0 e la derivata sinistra in 2.
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