La funzione $y = f(g(x))$ è una funzione composta (o funzione di funzione) perché y è funzione di z, che a sua volta
è funzione di x. Le due funzioni $z = g(x)$ e $y = f(z)$ sono dette componenti della funzione composta.
Se la funzione g è derivabile nel punto x e la funzione f è derivabile nel punto $z = g(x)$, allora la funzione composta $y = f(g(x))$ è derivabile in x e la sua derivata è il prodotto delle derivate di f rispetto a z e di g rispetto a x:
$$D [f(g(x))]=f'(z) \cdot g'(x)$$
con $z = g(x)$
ESEMPIO
Calcoliamo la derivata della funzione composta
$y = (2x^3 – 3x^2 + x – 1)^4$
in cui consideriamo:
$z = g(x) = 2x^3 – 3x^2 + x – 1$ e $y = f(z) = z^4$
Per la formula di derivazione della funzione composta, otteniamo:
$y ‘ = 4z^3 \cdot z’$
dove $z’ = 6x^2 – 6x + 1$
Sostituendo:
$y ‘ = 4 \cdot (2x^3 – 3x^2 + x – 1)^3 \cdot (6x^2 – 6x + 1)$
Si può anche calcolare la derivata di una funzione composta direttamente, senza effettuare sostituzioni.
ESEMPIO
Calcoliamo la derivata della funzione dell’esempio iniziale
$y= \ln (x^2+2)$
senza utilizzare le sostituzioni:
$y’=\frac{1}{x^2+2} \cdot (2x) $
Il teorema precedente può essere esteso alla derivata di una funzione y dipendente dalla variabile x attraverso un numero qualunque di funzioni componenti.
Per esempio, nel caso di tre funzioni, essendo
$$y = f(g(z(x)))$$
posto
$t = z(x)$, $u = g(t)$, $y = f(u)$
la formula relativa alla derivata della funzione composta si può scrivere:
$$D f(g(z(x)))=f'(u) \cdot g'(t) \cdot z'(x)$$
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