Data una funzione f (x) definita in un intervallo limitato e chiuso [a; b] con le seguenti proprietà:
• f (x) è continua in [a; b],
• f (x) è derivabile in ]a; b[,
• f(a)=f(b),
allora esiste almeno un punto c, interno all’intervallo, per il quale risulta f'(c)=0.
DIMOSTRAZIONE
Poiché $f(x)$ per ipotesi è continua nell’intervallo chiuso [a; b], per il teorema di Weierstrass, essa ammette massimo M e minimo m in tale intervallo, cioè esistono $c, d \epsilon [a; b]$ tali che:
$m=f(c) \leq f(x) \leq f(d)= M$ $\forall x \epsilon [a; b]$
- PRIMO CASO: m = M. Allora:
$m = f(c) = f(x) = f(d) = M$ $\forall x \epsilon [a; b]$
e quindi f è costante. Pertanto la sua derivata è nulla $\forall x \epsilon [a; b]$
- SECONDO CASO: m<M
La funzione non è costante, e poiché f(a) = f(b) per ipotesi, almeno uno dei punti c e d deve essere interno all’intervallo [a; b]. Per esempio, supponiamo che $c\epsilon ]a; b[$ .
Essendo f(c) il valore minimo, per ogni incremento h (positivo o negativo) tale che $c + h \epsilon ]a; b[ $ si ha:
$f(c+h) \geq f(c)$ cioè $f(c+h)-f(c) \geq 0 $
Allora, considerando i rapporti incrementali relativi al punto c, risulta:
$\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \geq 0$
per $h>0$
\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \leq 0
per $h<0$
Ne consegue che, per l’inverso del teorema della permanenza del segno:
$\lim \underset{h\rightarrow 0^+ }{} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}\geq 0$
e
$\lim \underset{h\rightarrow 0^- }{} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}\leq 0$
I due limiti rappresentano rispettivamente la derivata destra e sinistra di f(x) in c e, poiché f(x) è derivabile, devono essere finiti e coincidere, pertanto:
$f'(c)=\lim \underset{h\rightarrow 0 }{} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}= 0$
Il teorema si dimostra analogamente nel caso in cui d, anziché c, sia interno all’intervallo [a; b].
ESEMPIO
INDICE
- Il teorema di Rolle
- Il teorema di Lagrange
- Conseguenze del teorema di Lagrange
- Il teorema di Cauchy
- Il teorema di De L’Hospital