Il teorema di Lagrange

Teorema di Lagrange (o del valor medio) afferma che:

Se una funzione f(x) è:

• continua in un intervallo limitato e chiuso [a;b],

• derivabile in ogni punto interno a esso,

allora esiste almeno un punto c interno all’ intervallo per cui vale la relazione:

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$

DIMOSTRAZIONE

Consideriamo la funzione:

$F(x)=f(x)-kx$

con $k \in R$

$F(a)=F(b)$

Deve essere:

$f(a)-ka=f(b)-kb$

quindi k è:

$k=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Sostituiamo nella funzione e si ha:

$F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$

Poiché $F(x)$ soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, esiste almeno un punto$c \in ]a;b[$ tale che $F'(c)=0$. Calcoliamo la derivata di $F(x)$:

$F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

da cui

$F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$

Otteniamo quindi la tesi

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$

ESEMPIO

Consideriamo, nell’intervallo [1; 2], la funzione:

$f(x)=\frac{x^2+1}{x}$

Questa funzione è continua e derivabile per ogni $x \neq 0$. Quindi sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Lagrange.

Verifichiamo se esiste un punto $c \in ]1; 2[ $ tale che $f'(c)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$

Poichè:

$f'(x)=\frac{2x \cdot x -1 \cdot (x^2+1)}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}=1-\frac{1}{x^2}$

e

$f(1)=2$, $f(2)=\frac{5}{2}$

$\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$

deve essere

$1-\frac{1}{c^2}=\frac{1}{2}$

$c= \pm \sqrt{2}$

Quindi per $c \in ]1; 2[$ il teorema di Lagrange è verificato

INDICE

• Il teorema di Rolle
• Il teorema di Lagrange
• Conseguenze del teorema di Lagrange
• Il teorema di Cauchy
• Il teorema di De L’Hospital