Dati una funzione $y=f(x)$, definita in un intervallo $[a;b]$, e un punto del suo grafico $A(c ; f (c ))$, incrementiamo l’ascissa di A di una quantità h e così otteniamo il punto B di coordinate:
$x_B=c+h; y_B=f(x_B)=f(c+h)$
ossia, $B (c + h; f (c + h))$.
Consideriamo gli incrementi:
$\Delta x=x_b-x_a=h$
$\Delta y=y_b-y_a=f(c +h)-f(c)$
Il rapporto dei due incrementi è: $\frac{\Delta y}{\Delta x}$
DEFINIZIONE: Rapporto incrementale
Dati una funzione $y = f(x)$, definita in un intervallo $[a;b]$, e due diversi numeri reali $c$ e $c+ h$ interni all’intervallo, si chiama rapporto incrementale di $f$ (relativo a $c$) il numero:
$\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(c+h)-f(c)}{h}$
Considerati i punti A (c; f (c)) e B (c + h; f (c + h)) del grafico di f, il rapporto incrementale di f relativo a c è il coefficiente angolare della retta passante per A e B.
ESEMPIO
Calcoliamo il rapporto incrementale della funzione y = f (x ) = 2x 2 – 3x rela- tivo al suo punto A di ascissa 1 e a un generico incremento h.
Applicando la formula, troviamo:
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$
Determiniamo f (1 + h) sostituen- do alla $x$ della funzione l’espressione $1 + h$:
$f(1+h)=2(1+h)^2-3(1+h)=$
$=2(1 + 2h + h^2) – 3 – 3h =$
$=-1+h+2h^2 $
Determiniamo $f(1)$ sostituendo alla $x$ della funzione il numero 1:
$f(1)=-1$
Sostituiamo le due espressioni trovate nella formula del rapporto incrementale:
L’espressione trovata rappresenta, al variare di h, il coefficiente angolare di una generica retta secante passante per A.
In generale, il valore del rapporto incrementale dipende dal valore di h.
Nell’esempio precedente, se h = 0,2, il rapporto incrementale vale 2(0,2) + 1 = 1,4;
se h = 0,1, vale 2(0,1) + 1 = 1,2 e così via.