La derivata del prodotto di una costante per una funzione
La derivata del prodotto di una costante k per una funzione derivabile $f(x)$ è uguale al prodotto della costante per la derivata della funzione:
$$D[k \cdot f(x)]= k \cdot f'(x)$$
ESEMPIO
Data la funzione
$y= 2 \cos x$
la sua derivata sarà
$y’=-2 \sin x$
La derivata della somma di funzioni
La derivata della somma algebrica di due o più funzioni derivabili è uguale alla somma algebrica delle derivate delle singole funzioni:
$$D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)$$
ESEMPIO
Data la funzione
$y=x+2 \sin x$
la sua derivata sarà
$y=1+2 \cos x$
La derivata del prodotto di funzioni
La derivata del prodotto di due funzioni derivabili è uguale alla somma della derivata della prima funzione moltiplicata per la seconda non derivata e della derivata della seconda funzione moltiplicata per la prima non derivata:
$$D[f(x) \cdot g(x)]=f'(x)g(x) + f(x)g'(x)]$$
ESEMPIO
Calcoliamo la derivata della funzione
$y= x \cdot \sin x$
$y’=1 \cdot \sin x +x \cdot \cos x$
La derivata del reciproco di una funzione
La derivata del reciproco di una funzione derivabile non nulla è uguale a una frazione in cui:
• il numeratore è l’opposto della derivata della funzione;
• il denominatore è il quadrato della funzione.
$$ D \frac{1}{f(x)}=-\frac{f'(x)}{f^2(x)}$$
con $f(x)\neq 0$
ESEMPIO
Deriviamo la funzione
$y=\frac{1}{\sin x}$
$y’=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}$
La derivata del quoziente di due funzioni
La derivata del quoziente di due funzioni derivabili (con funzione divisore non nulla) è uguale a una frazione che ha:
• per numeratore la differenza fra la derivata del dividendo moltiplicata per il divisore non derivato e il dividendo non derivato moltiplicato per la derivata del divisore;
• per denominatore il quadrato del divisore.
$$D\frac{f (x)}{g(x)} =\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)}$$
con $g(x) \neq 0$
ESEMPIO
Calcoliamo la derivata della funzione
$y=\frac{3x^2-1}{x^2+x}$
$y’=\frac{3 \cdot 2x \cdot(x^2+x)-(2x+1)(3x^2-1)}{(x^2+x)^2} =\frac{3x^2+2x+1}{(x^2+x)^2}$
La derivata della funzione tangente
La derivata della funzione tangente è possibile scriverla nel seguente modo
$$D \tan x=\frac{1}{\cos^2 x}$$
oppure
$$D \tan x=1+ \tan^2 x$$
La derivata della funzione cotangente
La derivata della funzione cotangente è possibile scriverla nel seguente modo
$$D \cot x=-\frac{1}{\sin^2 x}$$
oppure
$$D \cot x=-(1+ \cot^2 x)$$
In sintesi:
INDICE
- La derivata di una funzione
- La retta tangente al grafico di una funzione
- La continuità e la derivabilità
- Le derivate fondamentali
- I teoremi sul calcolo delle derivate
- La derivata di una funzione composta
- La derivata di una funzione elevata ad un’altra funzione
- La derivata della funzione inversa