Dalla trasformazione di modelli materiali alla classificazione con definizioni a catena
La trasformazione di quadrilateri materiali offre un esempio emblematico di come gli studenti possano essere condotti dalla concretezza della manipolazione ragionata di modelli materiali all’astrazione delle definizioni a catena volutamente applicate alla classificazione, che non tende a separare ed a sottolineare le differenze, ma ad evidenziare le proprietà che permangono, mentre ne emergono di nuove.
Questo contenuto dovrebbe esse svolto in due tappe successive: la prima, costituita dalla manipolazione di modelli materiali, dovrebbe essere svolta nella stessa unità didattica per far percepire l‘unitarietà e l’eleganza del percorso e la seconda, suddivisa in più unità didattiche, di elaborazione delle definizioni e di esposizione delle proprietà, teoremi facilmente dimostrabili anche nella scuola secondaria di primo grado.
Gli studenti si dovranno procurare listelli di cartone (o legno sottile) o meglio ancora pezzi di un meccano, fermacampioni o viti per articolarli. La trasformazione di modelli materiali seguirà lo schema seguente.
La trasformazione da quadrilatero generico a trapezio avviene deformandolo per rendere parallele le basi.
La trasformazione da trapezio a parallelogrammo avviene togliendo il perno che articola 2 listelli
consecutivi, rendendo parallela anche l’altra coppia di lati, sostituendo due listelli in modo che abbiano
uguale lunghezza di quelli opposti e articolando nuovamente i listelli con un perno.
Infine possiamo rappresentare le diagonali (che si intersecano reciprocamente nel punto medio) con un filo elastico.
Il parallelogrammo con i lati rigidi, deformato in modo che gli angoli siano retti, genera un rettangolo.
Se invece sostituiamo il parallelogrammo che ha i lati rigidi con un altro che abbia rigide le diagonali e i lati
formati da filo elastico, rendendo perpendicolari le diagonali esso genera un rombo.
Sostituiamo il rombo con le diagonali rigide e i lati di filo elastico con un rombo con i lati rigidi e le diagonali
di filo elastico.
Deformato il rombo, gli angoli diventano retti ed esso genera un quadrato.
Sostituiamo il rettangolo con i lati rigidi e le diagonali di filo elastico con un rettangolo con le diagonali
rigide e i lati di filo elastico.
Deformato il rettangolo in modo che le diagonali siano perpendicolari, esso
genera un quadrato.
Definizioni a catena dei quadrilateri
Notiamo analogie con le trasformazioni precedenti:
quadrilatero: poligono limitato da quattro lati
trapezio: quadrilatero con due lati paralleli (due significa almeno due)
parallelogrammo: trapezio in cui anche gli altri due lati sono paralleli
rettangolo: parallelogrammo con quattro angoli retti
rombo: parallelogrammo con quattro lati uguali
quadrato: è sia rettangolo, sia rombo (è un poligono regolare)
Notiamo come le proprietà dei quadrilateri, elementi di un insieme, siano conservate nei quadrilateri che
sono elementi dei sottoinsiemi inclusi in esso (ad es. le diagonali del quadrato sono uguali come quelle del
rettangolo e perpendicolari come quelle del rombo).
