Il fascio improprio
Consideriamo una retta r del piano: l’insieme formato da r e da tutte le
rette a essa parallele si chiama fascio improprio di rette parallele a r.
ESEMPIO
L’equazione
$y=2x+q$
rappresenta, al variare di q, tutte le rette del piano che hanno coefficiente angolare 2, cioè è l’ equazione di un fascio improprio di rette.
Se q = 0, abbiamo la retta del fascio passante per l’origine:
$y = 2x$
Per disegnare altre rette del fasci basta attribuire dei valori a q e sostituirli, di volta in volta, nell’equazione del fascio:
per q = 3 abbiamo la retta $y= 2x + 3$ , per q = — 4 si ha la retta $y= 2x – 4 $ ecc.
Il fascio proprio
L’insieme di tutte le rette del piano che passano per uno stesso punto P si chiama fascio proprio di rette per P.
Il punto P comune a tutte le rette del fascio si chiama centro del fascio.
ESEMPIO
Determiniamo l’equazione del fascio di rette di centro P(4;3).
Se una retta generica $y= mx + q$ deve passare per P, occorre che le coordinate di P soddisfino l’equazione, ossia:
$3 = m • 4 + q$
Ricaviamo q :
$q=3-m • 4$
Sostituendo tale espressione a q nell’ equazione generica, otteniamo:
$y = mx + 3 – 4m$
Così facendo, abbiamo ottenuto l’equazione in forma esplicita di una generica retta del fascio.
Tuttavia la riscriviamo come segue:
$y – 3 = m(x – 4)$
per mettere in evidenza, nell’equazione, le coordinate (4; 3) del centro. Abbiamo trovato l’equazione del fascio di rette di centro P (4; 3).
Per ogni valore reale che attribuiamo al coefficiente angolare m otteniamo
una retta del fascio:
• Con m = 1 abbiamo la retta $y- 3 = x – 4$, cioè $y = x -1$;
• per m = -2 la retta $y- 3 = – 2x + 8$, cioè $y = – 2x + 11$;
• per m = 0 la parallela all’asse x, $y= 3$ e così via.
L’equazione della parallela all’asse / è x = 4, ma non esiste alcun valore di m che, sostituito nell’equazione del fascio, fornisca tale equazione. Pertanto, per avere tutte le rette del fascio proprio per P, dobbiamo aggiungere all’equazione del fascio l’equazione della parallela all’asse y per P:
$y -3 = m (x – 4)$ (rette non parallele all’asse y);
$x=4$ (retta parallela all’asse y).
Di seguito vi è una rappresentazione delle rette del fascio.
In generale, dato un punto P di coordinate $(x_1; y_1)$ , il fascio di rette di centro P ha equazione:
$y-y_1=m(x-x_1)$
Al variare di m si ottengono tutte le rette del fascio passanti per P, tranne la parallela all’asse y, che ha equazione $x = x_1$ .
Pertanto, il fascio completo è descritto dalle equazioni:
$y-y_1=m(x-x_1)$ , con $m\epsilon R$
$x=x_1$ .