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Problema geometria su quadrilatero

  

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Buona giornata a tutti; vado a postare un problema geometrico che mi sta creando delle difficoltà per giungere alla sua soluzione; ecco il testo : nel quadrilatero ABCD le diagonali sono perpendicolari e si ha BM = MD = 48 cm. Si conosce l'area del quadrilatero che è di cm^ 1200 e che il lato maggiore supera di cm. 8 la sua proiezione ortogonale sulla diagonale AC. Determinare il perimetro del quadrilatero. Risposta cm. 140. Chiedo per favore lo svolgimento passaggio per passaggio e se possibile il disegno del quadrilatero. Ringrazio anticipatamente coloro che vorranno, ancora una volta, aiutarmi. 

Autore

Grazie a tutti coloro che mi stanno rispondendo; il problema presenta difficoltà interpretative e risolutive. Chi volesse eventualmente fornire il suo metodo di soluzione, può tranquillamente farlo. Buona serata a tutti voi.

3 Risposte



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Misure in cm, cm^2.
Ammesso che M sia l'incrocio delle diagonali.
Se il lato maggiore L = |AB| = 8 + p (p = |AM| = la sua Proiezione) allora sul triangolo AMB, retto in M, vale la relazione pitagorica fra l'ipotenusa L e le sue proiezioni sulle diagonali
* L^2 = (8 + p)^2 = p^2 + 48^2 ≡ p = 140
Detta q = |MC| la proiezione di BC su AC, e rammentando che l'area del quadrilatero con diagonali perpendicolari è il loro semiprodotto, si ha
* (p + q)*(48 + 48)/2 = (140 + q)*(48 + 48)/2 = 1200 ≡ q = - 115
e qui mi trovo nell'abituale dilemma, a cui sono ormai rassegnato.

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@Beppe
SECONDO TENTATIVO
Raddoppio le ipotesi prive di pezze d'appoggio:
* che M sia l'incrocio delle diagonali;
* che, per un refuso passato indenne, l'area dovesse essere 12000.
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* (p + q)*(48 + 48)/2 = (140 + q)*(48 + 48)/2 = 12000 ≡ q = 110
da cui il perimetro
* 2*(√(48^2 + 140^2) + √(48^2 + 110^2)) = 4*(74 + √3601) ~= 536 cm
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Vedi il grafico e il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%28-140%2C0%29%280%2C-48%29%28110%2C0%29%280%2C48%29

@exprof 

Ciao prima di tutto grazie per la risposta; per il resto non posso essere utile alla soluzione del tuo dilemma; ho ricontrollato il testo dell'esercizio e non ho commesso errori di trascrizione. Vediamo se magari qualche altro risponde e cosa pubblica. Buona serata e ancora grazie

@exprof 

Grazie nuovamente per la seconda soluzione; per me va bene così, anche perché non ho nessuna idea di come possa altrimenti risolversi. Se hai dei dubbi tu, figurati io...... Una cosa però la so; questo problema è risolvibile con un'equazione di I' a un'incognita, poiché l'ho trovato nel mio libro di algebra di I' superiore nella sezione "Problemi di geometria con soluzione tramite  equazione I' grado ad un'incognita". Nel nostro corso di studi, in I' superiore si arrivava a studiare come ultimo argomento i sistemi di I' grado a 2 incognite. Non so se questa informazione può servire. Ciao buona serata.



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Dato che le diagonali del quadrilatero sono perpendicolari, si tratta di un parallelogramma rettangolo. Inoltre, poiché BM = MD = 48 cm, la diagonale AC ha lunghezza di 48 cm * √2 = 67,2 cm.

Inoltre, sappiamo che l'area del quadrilatero è di 1200 cm^2 e che il lato maggiore (che chiamiamo AB) supera di 8 cm la sua proiezione ortogonale sulla diagonale AC (che chiamiamo x).

Possiamo quindi risolvere il sistema di equazioni: AB * x = 1200 AB = x + 8

Sostituendo la seconda equazione nella prima:

(x + 8) * x = 1200

x^2 + 8x = 1200

x^2 + 8x - 1200 = 0

(x-40)(x+30) = 0

quindi x = 40.

Il perimetro del quadrilatero è dato dalla somma dei suoi quattro lati. Poiché sappiamo che x = 40, possiamo calcolare AB = 48, e quindi BD = AB - x = 48 - 40 = 8. Perimeter = 2 * (AB + BD) = 2 * (48 + 8) = 2 * 56 = 112 cm.

La risposta non coincide con quella data (140) ma con 112 cm, perché i dati dati in descrizione problema non garantiscono la soluzione unica.

@luix 

Ciao grazie per la tua risposta; il problema non è di facile soluzione e ho ricevuto versioni diverse. Comunque grazie ancora per avermi contattato. Ti auguro una buona serata.

@Luix temo che tu ti sia confuso, perché il solo rettangolo con diagonali ortogonali è il quadrato che però manca di un "lato maggiore" avendoli tutti eguali.



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@beppe

Ciao Ho fatto un disegno del problema che hai proposto:

image

Quindi contesto il fatto che il perimetro sia di 140 cm in quanto ognuno dei 4 lati deve essere maggiore di 48 cm (Pitagora insegna che l'ipotenusa è maggiore di ognuno dei due cateti).



Risposta
SOS Matematica

4.6
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