Equazioni esponenziali pag.591

EX.248 (la prima)

√(2·6^x + 7) ≤ 6^x + 1

6^x = t

√(2·t + 7) ≤ t + 1

disequazione simile ad una che ti ho risolto in precedenza. Equivale ad un sistema di disequazioni intere:

{2·t + 7 ≥ 0

{t + 1 ≥ 0

{2·t + 7 ≤ (t + 1)^2

che hanno soluzioni:

{t ≥ - 7/2

{t ≥ -1

{t ≤ - √6 ∨ t ≥ √6

Quindi soluzione finale sistema: [t ≥ √6]

cioè:6^x ≥ √6-----> 6^x ≥ 6^(1/2)----> x ≥ 1/2

Gli esponenti seguono il segno della disequazione essendo la base esponenziale >1

@Beppe

254)

Indichiamo con N(x) il numeratore e D(x) il denominatore. 

D(x) >0  per qualunque x€R

(somma di tre quantità positive) 

Se vogliamo l'intera frazione maggiore o uguale a zero dobbiamo imporre la condizione:

D(x) >=0

Quindi:

N(x) >=0

N(x) è il cubo di un binomio:

(a-b)³= (a³-b³-3a²b+3ab²)

Nel nostro esercizio;

(2^x - 2)³ = 2^(3x) - 8 - 3*2^(x) * 2² + 3* 2^(2x)* 2

Imponendo la condizione N(x) >=0 si ottiene:

(2^x - 2)³ >=0

2^x >= 2

x >= 1

Es 255)

Sappiamo che:

             {f(x) se f(x) >=0

|f(x)| =  {

             { - f(x) se f(x) <=0

La quantità all'interno del modulo è sempre positiva, essendo positivo ogni singolo addendo. Quindi:

2^( - 2x) * 2^(6) * 2^( - x-2) < 1

2^( - 3x+4) < 2^(0)

-3x + 4 < 0

x > 4/3

Es 252)

Prodotto di due fattori è positivo se i due fattori sono concordi (+ * + oppure - * -) 

Studiamo il segno Imponendo la condizione:

[3^(2-x) - 27] >=0

2^(-1) - 2^(2x) >=0

Dalla prima disequazione si ricava:

2-x >= 3  ==> x< - 1

Dalla seconda disequazione si ricava:

-1 >= 2x  ==> x<= - 1/2

La condizione richiede il prodotto positivo, quindi vanno bene gli intervalli: x<= - 1 v x>= - 1/2

Es 250)

Determino la soluzione dall'unione dei due sistemi che si ottengono nel caso di |f(x)|>=0 oppure |f(x)|<0

Se:

{4^(2x)>4¹

{4^(2x) - 2*4^(x) - 8 >=0

Posto: 4^(x)=t, t>0

{x>= 1/2

{t² - 2t - 8 >=0  => t<= - 2 v t>=4

Da cui si ricava la soluzione:

4^(x) >= 4

x >=1

Se invece f(x) <0 allora |f(x)| = - f(x) 

Quindi si ottiene:

{x < 1/2

{4 - 4^(2x) >= 4 + 2*4^x

Posto: 4^(x)=t, t>0

{x< 1/2

{t² + 2t <=0  ==> - 2 <= t <=0  MAI VERIFICATA 

Quindi la soluzione è quella ottenuta dal primo sistema: x>=1

Vado in ordine di leggibilità perché i miei occhi lasciano un po' a desiderare (eufemismo) e la tua abilità fotografica non aiuta (non solo la pagina non è di fronte, ma è pure sbieca!).
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255
* |4^(- x)/(2^(x + 2) : 2^6)| < 1 ≡
≡ - 1 < (1/4^x)/((2^2)*2^x/2^6) < 1 ≡
≡ - 1 < (1/2^(2*x))/(2^x/2^4) < 1 ≡
≡ - 1 < 2^4/2^(3*x) < 1 ≡
≡ - 1/2^4 < 1/2^(3*x) < 1/2^4 ≡
≡ (- 1/2^4 < 1/2^(3*x)) & (1/2^(3*x) < 1/2^4) ≡
≡ (1/2^(3*x) + 1/2^4 > 0) & (1/2^(3*x) - 1/2^4 < 0) ≡
≡ (vero ovunque) & ((2^(4 - 3*x) - 2^0)/16 < 0) ≡
≡ 2^(4 - 3*x) < 2^0 ≡
≡ 4 - 3*x < 0 ≡
≡ x > 4/3
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254
* (2^(3*x) - 8 + 3*2^(x + 2) - 3*2^(2*x + 1))/√(4^x + 3^(- x) + 10) >= 0 ≡
≡ (2^x - 2)^3/√((12^x + 10*3^x + 1)/3^x) >= 0 ≡
≡ 2^x >= 2 ≡
≡ x >= 1
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253
* (4^x)*(4^(x + 1) - 33) > - 8 ≡
≡ 4^(2*x + 1) - 33*4^x + 8 > 0 ≡
≡ 4*(4^x)^2 - 33*4^x + 8 > 0 ≡
≡ u^2 - (33/4)*u + 2 > 0 ≡
≡ (u - 1/4)*(u - 8) > 0 ≡
≡ (u < 1/4) oppure (u > 8) ≡
≡ (4^x < 1/4) oppure (4^x > 8) ≡
≡ (x < - 1) oppure (x > 3/2)

SECONDA RISPOSTA
254
A) (2^x - 2)^3 = 2^(3*x) + 3*2^(x + 2) - 3*2^(2*x + 1) - 8
B) √(4^x + 3^(- x) + 10) = √((12^x + 10*3^x + 1)/3^x) = √(positivo/positivo) = positivo
C) (2^x - 2)^3/positivo >= 0 ≡
≡ (2^x - 2)^3 >= 0 ≡
≡ 2^x >= 2 ≡
≡ x >= 1