[Risolto] Circonferenza e sua distanza minima da una retta

Ciao di nuovo.

Trova la retta passante per il centro della circonferenza e perpendicolare alla retta data.

Metti a sistema la circonferenza con la retta così trovata ed ottieni 2 punti di cui riconosci quale è più vicino.

C(2,3)

retta data: x + 2·y - 1 = 0 retta generica perpendicolare: 2·x - y + q = 0

Determino il termine noto q imponendo il passaggio per C:

3 = 2·2 + q-----> q = -1

Metto a sistema:

{x^2 + y^2 - 4·x - 6·y + 12 = 0

{y = 2·x - 1

Procedo con la sostituzione:

x^2 + (2·x - 1)^2 - 4·x - 6·(2·x - 1) + 12 = 0

5·x^2 - 20·x + 19 = 0

risolvo: x = 2 - √5/5 ∨ x = √5/5 + 2

In definitiva si ottengono i due punti:

x = √5/5 + 2 ∧ y = 2·√5/5 + 3 e  x = 2 - √5/5 ∧ y = 3 - 2·√5/5

di cui il punto P più vicino è:

P (2 - √5/5; 3 - 2·√5/5)

Spiegazione grafica:

PROCEDURA
Il punto P della circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 4*x - 6*y + 12 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1
di minima distanza dalla retta
* r ≡ x + 2*y - 1 = 0 ≡ y = (1 - x)/2
è, fra i due punti T1 e T2 di tangenza col fascio delle parallele ad r (y = (q - x)/2), quello della tangente con l'intercetta a minima distanza da quella di r (1/2).
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TANGENZE
* (y = (q - x)/2) & ((x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1) ≡
≡ (x = (q + 2 ± 2*√(5 - (q - 8)^2))/5) & (y = (2*q - 1 ± √(5 - (q - 8)^2))/5)
che alla tangenza, con q = 8 ± √5, danno
* T1(2 - 1/√5, 3 - 2/√5)
* T2(2 + 1/√5, 3 - 2/√5)
sulle tangenti
* t1 ≡ y = (4 - √5/2) - x/2
* t2 ≡ y = (4 + √5/2) - x/2
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CONFRONTO e DECISIONE
* |(4 - √5/2) - 1/2| = (7 - √5)/2
* |(4 + √5/2) - 1/2| = (7 + √5)/2 > (7 - √5)/2
quindi il punto P richiesto risulta
* T1(2 - 1/√5, 3 - 2/√5)
che è proprio il risultato atteso.