[Risolto] Iperbole e corda staccata da un fascio di rette

Nel ragionamento che descrivi c'è qualcosa che non mi sconfinfera: "... (entrambe negative) ... (entrambe positive) ...".
Il risultato non ti torna perché hai svolto un'operazione superflua ("Ho trovato le coordinate ...") e, nello svolgerla, hai confuso un paio di scelte.
Per giunta, anche facendo le scelte corrette, egualmente non ti saresti trovato col risultato atteso che, riferendosi a un altro esercizio, c'entra come i cavoli a merenda con questo.
VERIFICA
* (y = 6) & (x^2 - y^2 = 1) ≡ (± √37, 6)
che distano 2*√37 e non 2*√30.
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Le rette "y = k" sono parallele all'asse focale di x^2 - y^2 = 1, che è l'asse x; perciò intersecano i due rami dell'iperbole alle ascisse
* x = ± √(k^2 + 1)
identificando una corda lunga
* c(k) = X2 - X1 = 2*√(k^2 + 1)
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Per soddisfare alla consegna l'equazione da risolvere è
* c(k) = 2*√(k^2 + 1) = 2*√30 ≡
≡ k^2 + 1 = 30 ≡
≡ k = ± √29

O è sbagliato il testo o hai tu sbagliato a scrivere: 

mi viene k = - √29 ∨ k = √29

per l'iperbole che tu hai dato: x^2 - y^2 = 1

{x^2 - y^2 = 1

{y = k

per sostituzione:

x^2 - k^2 = 1------> x = - √(k^2 + 1) ∨ x = √(k^2 + 1)

d = 2·√(k^2 + 1)

2·√(k^2 + 1) = 2·√30

√(k^2 + 1) = √30

k^2 + 1 = 30

k = - √29 ∨ k = √29

D'altra parte: 2·√30 = 10.96 circa

Il risultato del testo se è y=6 ad esempio fa a pugni con quello che puoi ottenere con un programmino:

Metto a sistema

{ x^2 - y^2 = 1

{ y = k

e scrivo la risolvente

{ x^2 - k^2 = 1

in forma normale

x^2 - (1 + k^2) = 0

Ora |xB - xA| = rad(D)/|A| = 2 rad(1 + k^2)

e d = |xB - xA| * rad(1 + m^2) = 2 rad (1 + k^2) * 1

2 rad (1 + k^2) = 2 rad 30

1 + k^2 = 30

k^2 = 29

k = +- rad(29)

Il motivo per cui non ti trovi é che ha sbagliato il testo.

Infatti se consideri il grafico

https://www.desmos.com/calculator/aui1shybjw

e leggi l'ascissa del punto di intersezione trovi 5.477

La lunghezza della corda é quindi 10.954

molto vicino a 2 rad(30) che é 10.9544.