Determina per quale valore di K la parabola di equazione
y=-x²+2(k+2)x-5k-7:
a: passa per il punto P(1;2);
b: ha asse di simmetria x=2;
c: ha il vertice di ordinata - 1.
RISULTATI---> a) k=-2; b)k=0; c) k=2Vk=-1
Determina per quale valore di K la parabola di equazione
y=-x²+2(k+2)x-5k-7:
a: passa per il punto P(1;2);
b: ha asse di simmetria x=2;
c: ha il vertice di ordinata - 1.
RISULTATI---> a) k=-2; b)k=0; c) k=2Vk=-1
32
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Livello 0
Ti fornirò una risposta più tardi in quanto mi sa tanto che è un compito in classe.
Visto il tuo commento rispondo.
y = - x^2 + 2·(k + 2)·x - 5·k - 7
passaggio per P
2 = - 1^2 + 2·(k + 2)·1 - 5·k - 7
2 = - 1^2 + (2·k + 4) - 5·k - 7
2 = - 3·k - 4
k = -2
-------------------------------------------
equazione asse di simmetria: x=-b/(2a)
- b/(2·a) = 2------> 2·(k + 2)/2 = 2----> k + 2 = 2----> k = 0
--------------------------------------------
Yv=- Δ/(4·a) = -1
con
Δ = b^2 - 4·a·c ---> Δ = 4·(k + 2)^2 - 4·(5·k + 7)
Δ = (4·k^2 + 16·k + 16) - (20·k + 28) =4·k^2 - 4·k - 12
(4·k^2 - 4·k - 12)/(-4) = 1
- k^2 + k + 2 = 0
k^2 - k - 2 = 0-----> (k + 1)·(k - 2) = 0
k = 2 ∨ k = -1
94800
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Genius II
@lucianop Per il punto a, ho provato a sostituire le coordinate del punto P all'interno dell'equazione del fascio, peró mi esce - 4/3
Hai sicuramente sbagliato qualche segno.
@lucianop grazie mille
La risoluzione di questo tipo di esercizi (determinare una parabola Γ di date proprietà in un fascio con asse di simmetria parallelo parallelo all'asse y) si risolve quasi sempre riportando l'equazione del fascio dalla forma in cui è data alle forme equivalenti espresse in funzione dell'apertura (a != 0), del vertice V(w, h), degli zeri (X1, X2) e rammentando le relazioni con le altre proprietà geometriche.
* Γ ≡ y = h + a*(x - w)^2 ≡ y = a*(x - X1)*(x - X2)
------------------------------
NEL CASO IN ESAME
Il fascio, con le sue forme equivalenti, è
* Γ(k) ≡ y = - x^2 + 2*(k + 2)*x - (5*k + 7) ≡
≡ y = (- 1)*(x^2 - 2*(k + 2)*x + (5*k + 7)) ≡
≡ y = (- 1)*((x - (k + 2))^2 - (k + 2)^2 + (5*k + 7)) ≡
≡ y = (k^2 - k - 3) - (x - (k + 2))^2 ≡
≡ y = (- 1)*(x - (k + 2 - √(k^2 - k - 3)))*(x - (k + 2 + √(k^2 - k - 3)))
---------------
Costruito l'armamentario si affronta la sfida.
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a) La condizione di passaggio per P(1, 2) impone il vincolo
* 2 = (k^2 - k - 3) - (1 - (k + 2))^2 ≡ 3*k + 6 = 0 ≡ k = - 2
da cui
* Γ(- 2) ≡ y = - x^2 + 2*(- 2 + 2)*x - (5*(- 2) + 7) ≡
≡ y = 3 - x^2
---------------
b) L'asse di simmetria, x = k + 2, dev'essere x = 2 ≡ k = 0
da cui
* Γ(0) ≡ y = - x^2 + 2*(0 + 2)*x - (5*0 + 7) ≡
≡ y = - x^2 + 4*x - 7
---------------
c) L'ordinata del vertice, h = k^2 - k - 3, dev'essere h = - 1 ≡ k in {- 1, 2}
da cui
* Γ(- 1) ≡ y = - x^2 + 2*(- 1 + 2)*x - (5*(- 1) + 7) ≡
≡ y = - x^2 + 2*x - 2
* Γ(2) ≡ y = - x^2 + 2*(2 + 2)*x - (5*2 + 7) ≡
≡ y = - x^2 + 8*x - 17
------------------------------
Vedi il grafico, e l'unico punto base nel paragrafo "Solution", al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D3-x%5E2%2Cy-4*x%3D-x%5E2-7%2Cy-2*x%3D-x%5E2-2%2Cy-8*x%3D-x%5E2-17%5D
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Genius I
