[Risolto] Geometria analitica

@chiesa

Ciao di nuovo. 

Determino la retta perpendicolare alla base OB e passante per H(4/3,1): tale retta è altezza, bisettrice dell'angolo al vertice A  e anche mediana della base OB.

retta OB: x - 3·y = 0------> y = x/3 -----> m'=1/3

Retta ad essa perpendicolare per H:------> m=-3   (condizioni di perpendicolarità)

y - 1 = - 3·(x - 4/3)-------> y = 5 - 3·x

Determino M punto medio di OB:

{y = x/3

{y = 5 - 3·x

Risolvo ed ottengo:[x = 3/2 ∧ y = 1/2]------> M(3/2,1/2)

Quindi B ha coordinate doppie: B(3,1) 

Determino la retta OH che è perpendicolare al lato AB del triangolo isoscele:

H(4/3,1)--------> m=1/(4/3)-------> m=3/4--------> y=3/4*x

Quindi la retta AB ha coefficiente angolare m=-4/3

Quindi :  y - 1 = - 4/3·(x - 3)------> y = 5 - 4·x/3

Metto quindi a sistema le rette:

{y = 5 - 4·x/3 (retta AB)

{y = 5 - 3·x    (retta AH)

Risolvo ed ottengo A(0,5)

Certamente hai determinato B osservando che B = (3y, y) e che deve essere OH^2 = BH^2

(4/3)^2 + 1^2 = (4/3 - 3y)^2 + (1 - y)^2

16/9 + 1 = 16/9 - 8y + 9y^2 + 1 - 2y + y^2

10 y^2 - 10 y = 0

10 y(y - 1) = 0

non può essere y = 0 altrimenti B sarebbe O e quindi yB = 1

e xB = 3yB = 3  per cui B = (3,1)

Ora la retta OB ha equazione y = x/3

la sua perpendicolare per H ha equazione y = -3x + q

con 1 = -3*4/3 + q => q = 1 + 4 = 5

y = - 3x + 5

e questa retta passa per A per cui

yA = -3xA + 5.

Osserviamo poi che la retta per B = (3,1) e H = (4/3, 1)

e quindi di equazione y = 1 é perpendicolare a OA la quale ha quindi

equazione x = k da cui x = 0 perché passa per O.

Se ne deduce infine che xA = 0 e quindi yA = -3*0 + 5 = 5

A = (0;5).

Una volta trovato il vertice B, puoi utilizzare il seguente sistema per determinare le coordinate dell'ultimo vertice del triangolo. 

X e Y nel sistema che vedi in figura sono le coordinate del pto H, ortocentro del triangolo. 

(Xa, Ya) (Xb, Yb) (Xc, Yc) I vertici del triangolo 

Xa, Ya sono le tue incognite