EQUAZIONE DI PARTICOLARI FASCI USA IL (METODO DEI FASCI DI CIRCONFERNZE).

Consideriamo il fascio Γ(k) generato dalle due circonferenze:

$ γ_1: x^2+y^2+4x = 0$;  circonferenza di centro C(-2, 0)

$ γ_2: x^2+y^2-9 = 0$;  circonferenza di centro C(0, 0) 

$ Γ(k) = γ_1 + k γ_2$

Dai dati e dalla figura deduciamo che l'asse dei centri del fascio coincide con l'asse delle ascisse (y=0).

Il centro della circonferenza cercata deve essere l'intersezione della retta x+y+1 = 0 con l'asse delle x. L'intersezione tra le due rette ha coordinate x = -1 & y = 0.

Dobbiamo quindi determinare quale circonferenza del fascio  Γ(k) possiede centro in C(-1, 0)

Esplicitiamo l'equazione del fascio.

$x^2+y^2+4x+k(x^2+y^2-9) = 0$

$ x^2+y^2+ \frac{4}{k+1}x - \frac{9}{k+1} = 0$

dalla relazione coefficienti dell'equazione coordinate del centro segue che deve essere verificata

$ \frac{4}{k+1} = -2(-1) = 2$

$ k = 1 $

L'equazione della circonferenza cercata è così

$2x^2+2y^2+4x-9 = 0$

Ripassi
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Nell'equazione in forma normale standard della generica circonferenza Γ
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza determinando i tre parametri (a, b, q).
Se uno o più fra (a, b, q) è funzione di un parametro k allora Γ(k) è l'equazione di un fascio.
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La retta s, asse del segmento AB di estremi due dati punti A(a, p) e B(b, q) è il luogo di tutti e soli i punti C(x, y) equidistanti da A e B e la comune distanza è il raggio R della circonferenza per A e B centrata su C.
* |AC|^2 = |BC|^2 = q = R^2 ≡
≡ (x - a)^2 + (y - p)^2 = (x - b)^2 + (y - q)^2 = Q = R^2
di tale sistema ci sono due casi particolari
1) (a = b) & (p ≠ q) & ((x - a)^2 + (y - p)^2 = (x - b)^2 + (y - q)^2 = Q)
da cui
* s ≡ y = (p + q)/2
* C(k, (p + q)/2)
* Q = (b - k)^2 + (p - q)^2/4
2) (a ≠ b) & (p = q) & ((x - a)^2 + (y - p)^2 = (x - b)^2 + (y - q)^2 = Q)
da cui
* s ≡ x = (a + b)/2
* C((a + b)/2, k)
* Q = (k - q)^2 + (a - b)^2/4
e il caso generale
3) (a ≠ b) & (p ≠ q) & ((x - a)^2 + (y - p)^2 = (x - b)^2 + (y - q)^2 = Q)
da cui
* s ≡ y = (2*(b - a)*x + (a^2 - b^2) + (p^2 - q^2))/(2*(p - q))
* C(k, (2*(b - a)*k + (a^2 - b^2) + (p^2 - q^2))/(2*(p - q)))
* Q = ((b - a)*(a + b - 2*k) + (p - q)^2)^2/(4*(p - q)^2) + (a - k)^2
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Esercizi
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212907/ A(- 1, 0), B(3, 0)
Caso 2
* C((- 1 + 3)/2, k)
* Q = (k - 3)^2 + (- 1 - 3)^2/4
* Γ(k) ≡ (x - 1)^2 + (y - k)^2 = (k - 3)^2 + 4
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212908/ A(1, - 2), B(3, 6)
Caso 3
* C(k, (2*(3 - 1)*k + (1^2 - 3^2) + ((- 2)^2 - 6^2))/(2*((- 2) - 6)))
* Q = ((3 - 1)*(1 + 3 - 2*k) + ((- 2) - 6)^2)^2/(4*((- 2) - 6)^2) + (1 - k)^2
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (10 - k)/4)^2 = 17*((k - 2)^2/16 + 1)
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212909/
* x - 2*y - 4 = 0 ≡ x - 2*y = 4 ≡ x/4 + y/(4/(- 2)) = 1 →
→ A(4, 0), B(0, - 2)
Caso 3
Alle sostituzioni e semplificazioni ci pensi tu, vero?
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212911/
Passa per A(1, 0) e per B(3, 0) e tange l'asse y.
Caso 2
* C((1 + 3)/2, k)
* Q = (k - 0)^2 + (1 - 3)^2/4
* Γ(k) ≡ (x - 2)^2 + (y - k)^2 = k^2 + 1
Tangere l'asse y vuol dire che l'ascissa del centro deve avere modulo pari al raggio, positivo; cioè
* |xC| = √Q > 0 ≡
≡ 2 = √(k^2 + 1) > 0 ≡
≡ k = ± √3
Alle sostituzioni e semplificazioni ci pensi tu, vero?
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212913/
La retta
* x + y + 1 = 0 ≡ y = - x - 1
ha cursore C(x, - x - 1).
* (x^2 + y^2 + 4*x = 0) & (x^2 + y^2 - 9 = 0) ≡
≡ A(- 9/4, - 3*√7/4) oppure B(- 9/4, 3*√7/4)
Caso 1
* C(k, 0)
* Q = (- 9/4 - k)^2 + (- 3*√7/4 - 3*√7/4)^2/4
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + y^2 = (k + 9/4)^2 + 63/16
La circonferenza richiesta si ha per
* C(k, 0) = (x, - x - 1) ≡ x = k = - 1
Alle sostituzioni e semplificazioni ci pensi tu, vero?
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212914/
Tangere l'asse x vuol dire che l'ordinata del centro deve avere modulo pari al raggio, positivo; cioè
* |yC| = √Q > 0
* (x^2 + y^2 - 4*y - 1 = 0) & (x^2 + y^2 - 4 = 0) ≡
≡ A(- √55/4, 3/4) oppure B(√55/4, 3/4)
Caso 2
Oramai è una noia.
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Urca la Peppa, questa sì che è stata una batteria!

Anche questo é abbastanza semplice

x^2 + y^2 = - 4x

x^2 + y^2 = 9

significa che - 4x = 9

x = -9/4

y^2 = 9 - 81/16 = 63/16

y = +- rad(63)/4

81/16 + 63/16 - 9/4 a + rad(63)/4 b + c = 0

81716 + 63/16 - 9/4 a - rad(63)/4 b + c = 0

sottraendo 1/2 b rad(63) = 0 => b = 0

144/16 - 9/4 a + c = 0

-a/2 - b/2 + 1 = 0 condizione sul centro

allora se b = 0 si ha il fascio di circonferenze

x^2 + y^2 + ax + 9/4a - 9 = 0

e per la nostra

-a/2 = -1

a = 2

c = 9/4*2 - 9 = - 9/2

x^2 + y^2 + 2x - 9/2 = 0

per cui finalmente si trova

2x^2 + 2y^2 + 4x - 9 = 0