[Risolto] EQUAZIONE DI PARTICOLARI FASCI USA IL (METODO DEI FASCI DI CIRCONFERNZE).

Problema:

Si determini l'equazione della circonferenza, tramite il metodo dei fasci, passante per A(1,0) e per B(3,0) e tangente all'asse y.

Soluzione: 

Grazie al metodo dei fasci è possibile trovare un fascio di circonferenze passante per due punti tramite il proprio asse radicale ed una circonferenza di tale fascio.

Essendo l'asse radicale una retta passante per i punti base A e B, esso può essere espresso tramite l'equazione della retta in forma implicita come $r: ax+by+c=0$ ossia $r:1y=0$. 

Si prende la circonferenza di raggio $\frac{\overline{AB}}{2}$ con centro in $M_{\overline{AB}}(2,0)$ $π: (x-2)²+y²-1=0$.

Il fascio di circonferenze risulta dunque esser definito da $Φ_π: (x²+y²-4x+3)+k(1y)=0$.

L'asse y ha equazione x=0, per ottenere il valore di k della circonferenza tangente ad esso è necessario mettere a sistema l'asse delle ordinare ed il fascio di circonferenze con la condizione ∆=0.

$Φ_π: (x²+y²-4x+3)+k(1y)=0$

$x=0$

ossia $y²+ky+3=0$, ∆=k²-12=0 $\rightarrow$ k=±2√3.

Le equazioni della circonferenza richiesta risultano dunque essere $π: x²+y²-2x±2 \sqrt{3} y+3=0$.

L'immagine che segue è stata realizzata tramite l'elaboratore grafico Desmos.

Ripassi
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Nell'equazione in forma normale standard della generica circonferenza Γ
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2
ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).
Si trova l'equazione della circonferenza determinando i tre parametri (a, b, q).
Se uno o più fra (a, b, q) è funzione di un parametro k allora Γ(k) è l'equazione di un fascio.
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La retta s, asse del segmento AB di estremi due dati punti A(a, p) e B(b, q) è il luogo di tutti e soli i punti C(x, y) equidistanti da A e B e la comune distanza è il raggio R della circonferenza per A e B centrata su C.
* |AC|^2 = |BC|^2 = q = R^2 ≡
≡ (x - a)^2 + (y - p)^2 = (x - b)^2 + (y - q)^2 = Q = R^2
di tale sistema ci sono due casi particolari
1) (a = b) & (p ≠ q) & ((x - a)^2 + (y - p)^2 = (x - b)^2 + (y - q)^2 = Q)
da cui
* s ≡ y = (p + q)/2
* C(k, (p + q)/2)
* Q = (b - k)^2 + (p - q)^2/4
2) (a ≠ b) & (p = q) & ((x - a)^2 + (y - p)^2 = (x - b)^2 + (y - q)^2 = Q)
da cui
* s ≡ x = (a + b)/2
* C((a + b)/2, k)
* Q = (k - q)^2 + (a - b)^2/4
e il caso generale
3) (a ≠ b) & (p ≠ q) & ((x - a)^2 + (y - p)^2 = (x - b)^2 + (y - q)^2 = Q)
da cui
* s ≡ y = (2*(b - a)*x + (a^2 - b^2) + (p^2 - q^2))/(2*(p - q))
* C(k, (2*(b - a)*k + (a^2 - b^2) + (p^2 - q^2))/(2*(p - q)))
* Q = ((b - a)*(a + b - 2*k) + (p - q)^2)^2/(4*(p - q)^2) + (a - k)^2
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Esercizi
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212907/ A(- 1, 0), B(3, 0)
Caso 2
* C((- 1 + 3)/2, k)
* Q = (k - 3)^2 + (- 1 - 3)^2/4
* Γ(k) ≡ (x - 1)^2 + (y - k)^2 = (k - 3)^2 + 4
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212908/ A(1, - 2), B(3, 6)
Caso 3
* C(k, (2*(3 - 1)*k + (1^2 - 3^2) + ((- 2)^2 - 6^2))/(2*((- 2) - 6)))
* Q = ((3 - 1)*(1 + 3 - 2*k) + ((- 2) - 6)^2)^2/(4*((- 2) - 6)^2) + (1 - k)^2
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + (y - (10 - k)/4)^2 = 17*((k - 2)^2/16 + 1)
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212909/
* x - 2*y - 4 = 0 ≡ x - 2*y = 4 ≡ x/4 + y/(4/(- 2)) = 1 →
→ A(4, 0), B(0, - 2)
Caso 3
Alle sostituzioni e semplificazioni ci pensi tu, vero?
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212911/
Passa per A(1, 0) e per B(3, 0) e tange l'asse y.
Caso 2
* C((1 + 3)/2, k)
* Q = (k - 0)^2 + (1 - 3)^2/4
* Γ(k) ≡ (x - 2)^2 + (y - k)^2 = k^2 + 1
Tangere l'asse y vuol dire che l'ascissa del centro deve avere modulo pari al raggio, positivo; cioè
* |xC| = √Q > 0 ≡
≡ 2 = √(k^2 + 1) > 0 ≡
≡ k = ± √3
Alle sostituzioni e semplificazioni ci pensi tu, vero?
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212913/
La retta
* x + y + 1 = 0 ≡ y = - x - 1
ha cursore C(x, - x - 1).
* (x^2 + y^2 + 4*x = 0) & (x^2 + y^2 - 9 = 0) ≡
≡ A(- 9/4, - 3*√7/4) oppure B(- 9/4, 3*√7/4)
Caso 1
* C(k, 0)
* Q = (- 9/4 - k)^2 + (- 3*√7/4 - 3*√7/4)^2/4
* Γ(k) ≡ (x - k)^2 + y^2 = (k + 9/4)^2 + 63/16
La circonferenza richiesta si ha per
* C(k, 0) = (x, - x - 1) ≡ x = k = - 1
Alle sostituzioni e semplificazioni ci pensi tu, vero?
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/212914/
Tangere l'asse x vuol dire che l'ordinata del centro deve avere modulo pari al raggio, positivo; cioè
* |yC| = √Q > 0
* (x^2 + y^2 - 4*y - 1 = 0) & (x^2 + y^2 - 4 = 0) ≡
≡ A(- √55/4, 3/4) oppure B(√55/4, 3/4)
Caso 2
Oramai è una noia.
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Urca la Peppa, questa sì che è stata una batteria!

Dati A(1,0) e B(3,0) segue immediatamente che il loro punto medio ha coordinate M(2,0) e, che la distanza tra i punti A e M vale 1 $(d_{AM} = 1)$.

Possiamo determinare facilmente l'equazione della circonferenza passante per A e B avente centro in M.

$(x-2)^2+y^2 = 1 \quad \implies \quad x^2+y^2-4x+3 =0$

Osserviamo che la retta che passa per AB, cioè l'asse delle x coincide con l'asse radicale, quindi l'equazione del fascio risulta essere

$Γ(k) = x^2+y^2-4x+3 +k(y) = 0$

Di fatto si cerca la circonferenza del fascio tangente all'asse delle y (eq, x=0), impostiamo il sistema fascio asse delle ordinate

$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2-4x+3 &=0 \\x &= 0 \end{aligned} \right.$

per sostituzione si ottiene 

$y^2 +ky+3 = 0$

Imponiamo il discriminante eguale a zero (soluzione composta da un solo punto cioè la tangenza)

$Δ = 0 \quad \implies \quad k^2 -12 = 0 \,\,\text{ovvero}\,\, k = ±2\sqrt{3}$

ragion per cui le due circonferenze cercate hanno equazioni

$ x^2+y^2 -4x ±2\sqrt{3}y +3 = 0$