ELLISSE esercizi

a = 2 (semiasse maggiore).

c = radice(a^2 - b^2); (semidistanza focale).

c = 1.

c^2 =  a^2 - b^2;

b^2 = a^2 - c^2 = 4 - 1 = 3;

b = radice(3);

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1;

x^2 / 4 + y^2 / 3 = 1,

mcm = 12;

3x^2 + 4y^2 = 12.

36)

b = 3; a = 2;

x^2/4 + y^2/9 = 1;

b=2; c = 1

c^2 = a^2 - b^2;

a^2 = c^2 + b^2 = 1 + 4 = 5.

x^2/5 + y^2 / 4 = 1

@gemma

34 lettera b)

a=2 ; c=1

Siccome i fuochi sono sull'asse delle x, conoscendo c ricavo b=√(a^2 - c^2) quindi:

b=√(2^2 - 1^2) = √3 Da cui l'equazione canonica dell'ellisse: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

x^2/2^2 + y^2/√3^2 = 1 ---> x^2/4 + y^2/3 = 1    (*12)      3·x^2 + 4·y^2 = 12

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36 lettera a)

b = 3     ; a = 2

x^2/2^2 + y^2/3^2 = 1  -----> x^2/4 + y^2/9 = 1     (*36)    9·x^2 + 4·y^2 = 36

36 lettera b)

b = 2 ; c = 1

a = √(b^2 - c^2) =√(2^2 - 1^2) = √3

x^2/√3^2 + y^2/2^2 = 1----->x^2/3 + y^2/4 = 1 (*12)    4·x^2 + 3·y^2 = 12

eccentricità e=c/a se F è sull'asse x

eccentricità e=c/b se F è sull'asse y

Ciao

Buongiorno, questa è la risoluzione dell'esercizio 34 b.
Il 36 prova a farlo sol* e se dovesse servirti qualcosa chiedi pure.

Stavo per scriverti la mia solita intemerata sul fatto che si deve leggere il
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
prima di pubblicare domande, e che tu con "20+ post" avresti già dovuto farlo da un pezzo quando, clickando su "Apri link in nuova scheda", ho avuto un satori.
Se, a norma di Regolamento, tu gli esercizi li avessi trascritti io t'avrei fatto notare che con quelle specifiche {a, b, c, e} tutte geometriche l'ellisse si può disegnare, ma non individuarne l'equazione; e che, pur specificando su quale retta debbano cadere i fuochi, resta sempre un'infinità di equazioni diverse che soddisfanno a tutte le specifiche.
AVREI COMMESSO UNA GRAVE INGIUSTIZIA: la carenza di vincoli è colpa di quell'incompetente che ha formulato gli esercizi e non dell'alunna che se li trova da svolgere.
Per mettere al sicuro voi alunni da questi orrori linguistici che vi instillano subliminalmente convinzioni dannosamente errate su come si debba esporre un problema è il caso di avanzare una PETIZIONE DI MODIFICA DEL REGOLAMENTO.
Lo farò in una nuova discussione che aprirò fra poco e alla quale ti chiedo di clickare una freccia in su come contraccambio delle seguenti
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SPIEGAZIONI
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A) La forma della consegna determina quella dell'equazione
L'incipit "Scrivi l'equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse ..." DEVE essere sostituito, in entambe le consegne, da "Scrivere l'equazione dell'ellisse CENTRATA NELL'ORIGINE E con i fuochi sull'asse ..." in modo da consentire l'uso della forma
* Γ1 ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
mentre la formulazione della foto IMPONE l'uso della forma
* Γ2 ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
con un centro C(α, β), non necessariamente nell'origine.
"con i fuochi sull'asse x (y = 0)" significa β = 0
"con i fuochi sull'asse y (x = 0)" significa α = 0
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B) Relazioni fra i parametri geometrici {a, b, c, e} delle ellissi Γ1
* a = lunghezza del semiasse giacente sull'asse x
* b = lunghezza del semiasse giacente sull'asse y
* c = √(|a^2 - b^2|) = semidistanza focale
* per a < b si ha un'ellisse con i fuochi sull'asse y
* per a = b = r si ha una circonferenza di raggio r
* per a > b si ha un'ellisse con i fuochi sull'asse x
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La semidistanza focale "c" e il semiasse minore "min(a, b)" sono cateti di un triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il semiasse maggiore "max(a, b)".
Per definizione l'ellisse è il luogo dei punti P(x, y) tali che le loro distanze dai due fuochi assommino alla lunghezza dell'asse maggiore
* |PF1| + |PF2| = 2*max(a, b)
Questa relazione definitoria, valendo per tutti i punti dell'ellisse, vale in particolare per i vertici dell'asse minore dove i tre segmenti {a, b, c} formano il triangolo rettangolo.
* per a < b si ha c = √(b^2 - a^2)
* per a = b = r si ha c = 0
* per a > b si ha c = √(a^2 - b^2)
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Per quanto sopra, l'eccentricità
* e = c/max(a, b)
in quanto rapporto fra le lunghezze della semidistanza focale e del semiasse maggiore è un valore positivo minore di uno.
* per a < b si ha e = √(1 - (a/b)^2)
* per a = b = r si ha e = 0
* per a > b si ha e = √(1 - (b/a)^2)
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C) SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI
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Trascurando il caso della circonferenza i sistemi
* (c = √(b^2 - a^2)) & (e = √(1 - (a/b)^2)) & (a < b) [Es. 36 e 37].
* (c = √(a^2 - b^2)) & (e = √(1 - (b/a)^2)) & (a > b) [Es. 34 e 35].
consentono di determinare
* Γ1 ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
dati i valori di due qualsiasi diversi parametri dei quattro.
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(a, b): Es. 34a, 36a; basta scrivere Γ1 direttamente.
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(a, c): Es. 34b
* (c = √(a^2 - b^2)) & (e = √(1 - (b/a)^2)) & (a > b) ≡
≡ (b = √(a^2 - c^2)) & (e = c/a)
* Γ1 ≡ (x/a)^2 + (y/√(a^2 - c^2))^2 = 1
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(a, e): pensaci tu
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(b, c): Es. 36b
* (c = √(b^2 - a^2)) & (e = √(1 - (a/b)^2)) & (a < b) ≡
≡ (a = √(b^2 - c^2)) & (e = c/b)
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(b, e): pensaci tu
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(c, e): pensaci tu