un giocatore di basket fa canestro centrando la rete che si trova a una quota h₂＝3,05m dal paquet di gioco.
il pallone viene lanciato da una quota di h₁＝ 2,15m rispetto al suolo con una velocita di modulo 7,0 m/s e con un angolo sopra le direzioni orizzontale di 42°.
determina il tempo che passa da quando la palla lascia la mano del giocatore a quando finisce nel canestro e la distanza orizzontale tra il punto di tiro e il canestro.
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Livello 1
Vedi anche
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/18421/
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Un punto materiale, lanciato nel primo quadrante dal punto P(0, h) m con velocità iniziale di modulo V m/s e alzo θ, colpisce il punto Q(d, H) m dopo T secondi.
Si chiede di determinare i valori positivi (T, d) in base ai seguenti dati
* H = 3,05 = 61/20 m
* h = 2,15 = 43/20 m
* V = 7 m/s
* θ = 42° = (7/30)*π
e al valore standard SI dell'accelerazione di gravità
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
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A) Componenti della velocità iniziale
Con
* C = cos(42°)
* S = sin(42°)
* P = C*S = cos(42°)*sin(42°) = cos(6°)/2
si ha
A1) componente orizzontale
* Vx = V*cos(θ) = 7*C ~= 5.2 m/s
A2) componente verticale
* Vy = V*sin(θ) = 7*S ~= 4.7 m/s
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B) Le equazioni che modellano la situazione sono le seguenti.
* C^2 + S^2 = 1 ≡ C^2 = 1 - S^2
* x(t) = (Vx)*t = 7*C*t
* y(t) = h + t*(Vy - (g/2)*t) = 43/20 + t*(7*S - (196133/40000)*t)
* vx(t) = 7*C
* vy(t) = 7*S - (196133/20000)*t
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C1) Il tempo di volo T si ricava dal dato sulla quota del bersaglio
* y(T) = h + T*(Vy - (g/2)*T) = H ≡
≡ T = (Vy ± √(2*g*(h - H) + (Vy)^2))/g
e, visto che la palla va a canestro in discesa,
* T = (Vy + √(2*g*(h - H) + (Vy)^2))/g
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C2) La distanza orizzontale d si ricava sostituendo T in
* d = x(T) = (Vx)*T = (Vx)*(Vy + √(2*g*(h - H) + (Vy)^2))/g
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D) Sostituendo ai simboli i loro valori e approssimando al centesimo (come sono i dati) si hanno i risultati (S.E.&O., beninteso! Devi comunque controllare.).
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D1) T = (Vy + √(2*g*(h - H) + (Vy)^2))/g =
= (7*sin(42°) + √(2*(196133/20000)*(43/20 - 61/20) + (7*sin(42°))^2))/(196133/20000) =
= 20*(√(70*(97829 - 350000*sin(6°))) + 7000*sin(42°))/196133 ~=
~= 0.68876 ~= 0.69 s
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D2) d = (Vx)*(Vy + √(2*g*(h - H) + (Vy)^2))/g =
= (7*cos(42°))*(7*sin(42°) + √(2*(196133/20000)*(43/20 - 61/20) + (7*sin(42°))^2))/(196133/20000) =
= 20*(√(70*(97829 - 350000*sin(6°))) + 7000*sin(42°))*cos(42°)/28019 ~=
~= 3.5829 ~= 3.58 m
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Genius I
@Valentina06
A) Se non mi dici perché mi dai il voto negativo questo non avrà efficacia e io, non sapendolo, continuerò a scrivere la cosa che t'è dispiaciuta.
B) Voglio sperare che il tuo cognome non sia Bigi, almeno!
sen 42° = 0,669 ; cos 42° = 0,743
3,05-2,15 = Vo*sen 42*t-g/2*t^2
0,90 = 0,669*7*t-4,903t^2
0,90-4,684t+4,903t^2 = 0
tempo t = (4,684±√4,684^2-4,903*0,9*4 )/ 9,806 = (0,266 ; 0,689) sec
anche il più sprovveduto riguardo al basket sa che la palla entra in fase discendente , pertanto il tempo da considerare è 0,689 sec
distanza d = Vo*cos 42*t = 7,0*0,743*0,689 = 3,58 m
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Genius III
