[Risolto] considera la funzione di equazione f(x)= e^x +1 / e^x+x. a) traccia il grafico di y=f(x), tralasciando lo studio di y".b)calcola l'area della regione di piano contenuta nel piano quadrante, i cui punti hanno coordinate (x,y) soddisfacenti la condi...

f(x) = (e^x+1)/(e^x+x)

a)

• Dominio.

Essendo una funzione trascendente di tipo esponenziale fratta occorre che il denominatore non si annulli. Per via grafica, senza introdurre la funzione di Lambert, si può verificare che 

e^x +x = 0 ammette una sola soluzione per x ≈ -0,57 soluzione che indicheremo con α.

Dominio = ℝ \ {x | e^x+x=0}

• limiti

i) lim(x→-oo) f(x) = 0

questo rivela la presenza di un asintoto orizzontale sinistro di equazione y=0

ii) lim(x→+oo) f(x) = 1

questo rivela la presenza di un asintoto orizzontale destro di equazione y=1

iii) lim(x→αˉ) f(x) = -∞

iv) lim(x→α⁺) f(x) = +∞

siamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x= α

•    Segno di f(x)

f(x) < 0 in (-∞,α)f(x) = 0 per x=α

f(x) > 0 in (α,+oo)

• Estremi relativi

-) derivata prima f'(x) = [(x-2)e^x-1]/(e^x+x)²-) punti stazionari f'(x) = 0 

(x-2)e^x-1 = 0

Come in precedenza dichiariamo un valore approssimato per l'unica soluzione

x ≈ 2,12 che indicheremo con x=β

-) Segno derivata prima

f'(x) < 0 in (-oo,α) U (α,β). In questi due intervalli la funzione è separatamente decrescente.

f'(x) = 0 per x=β

f'(x) > 0 in (β,+oo). In questo intervallo la funzione è crescente.

-) minimo relativo. 

Il punto x=β è un punto di minimo relativo, infatti la funzione decresce a sinistra mentre cresce alla sua destra.

Grafico: https://www.desmos.com/calculator/cxqxxsqcst

b) Non mi è chiaro quale sia l'intervallo di integrazione.

f(x) ≤ y ≤ 1 

una bella lettura del Regolamento credo sia necessaria, così come imparare a scrivere le espressioni matematiche senza la lasciare dubbi.

Per come ha scritto la funzione tu, io (e qualunque matematico) la interpreta come:

$f(x)=e^x+\frac{1}{e^x}+x$

mentre molto probabilmente tu volevi scrivere, come ha interpretato @cmc , 

$f(x)=\frac{e^x+1}{e^x+x}$

Se è giusta la seconda interpretazione, avresti dovuto NECESSARIAMENTE scrivere

(e^x+1)/(e^x+x)

Per me è un errore gravissimo, che mette in luce l'approssimazione con cui ti approcci ai problemi e in generale alla matematica

a) traccia il grafico di y=f(x), tralasciando lo studio di y".
Mi pare di patente banalità che non occorra affatto dire di tralasciare lo studio della derivata seconda: una qualunque persona NON MASOCHISTA sa benissimo che non occorre alcuno studio per obbedire al semplicissimo comando "traccia il grafico di y=f(x)". Vedere per credere
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5Bx*y%3D0%2C+y%3De%5Ex+%2B1+%2F+e%5Ex%2Bx%5Dx%3D-5to5%2Cy%3D-1to88
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b) Se il punto "a" definisce "y = f(x)" allora la condizione del punto "b"
* "f(x) minore o uguale a y minore o uguale a 1" ≡
≡ f(x) <= y <= 1
vuol dire semplicemente
* y <= 1
e "la regione di piano ... soddisfacenti la condizione" significa la striscia
* (0 <= x) & (0 <= y <= 1)
e, ovviamente, l'area di tale striscia illimitata a destra è infinita.