[Risolto] GEOMETRIA

UN RETTANGOLO HA IL PERIMETRO DI 112 CM E UNA DIAGONALE LUNGA 42 CM. CALCOLA L'AREA DEL ROMBO CHE HA COME VERTICI I PUNTI MEDI DEI LATI DEL RETTANGOLO.

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Rettangolo:

semiperimetro o somma delle due dimensioni $p= \dfrac{2p}{2} = \dfrac{112}{2} = 56\,cm;$

poni le due dimensioni come segue:

1° dimensione $= x;$ 

2° dimensione $= 56-x;$ 

ora utilizza il teorema di Pitagora nella seguente equazione:

$(56-x)^2+x^2 = 42^2$

$3136-112x+x^2+x^2 = 1764$

$2x^2-112x = 1764-3136$

$2x^2-112x = -1372$

eguaglia a zero:

$2x^2-112x +1372 = 0$

dividi tutto per 2:

$x^2-56x +686 = 0$

equazione di 2° grado completa quindi risolvi con i seguenti dati:

$a= 1;$

$b= -56;$

$c= 686;$

$\Delta= b^2-4ac = (-56)^2-4×1×686 = 3136-2744 = 392;$

delta positivo quindi, applicando la formula risolutiva, avremo due risultati reali e distinti che saranno le due dimensioni del rettangolo:

$x_{1,2}= \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-(-56)\pm\sqrt{392}}{2×1} = \dfrac{56\pm14\sqrt2}{2}$

per cui le due dimensioni sono:

$x_1= \dfrac{56-14\sqrt2}{2} \approx{18,1}\,cm;$

$x_2= \dfrac{56+14\sqrt2}{2} \approx{37,9}\,cm;$

area del rettangolo $A= 18,1×37,9 \approx{686}\,cm^2.$

Rombo:

il rombo che abbia i vertici nei punti medi dei lati del rettangolo è equivalente alla metà di quest'ultimo e le diagonali corrispondono alle dimensioni del rettangolo, infatti:

area del rombo $A= \dfrac{D×d}{2} = \dfrac{37,9×18,1}{2}\approx{343}\,cm^2.$

UN RETTANGOLO HA IL PERIMETRO 2p DI 112 CM E UNA DIAGONALE LUNGA 42 CM. CALCOLA L'AREA DEL ROMBO CHE HA COME VERTICI I PUNTI MEDI DEI LATI DEL RETTANGOLO

p = 2p/2 = 112/2 = 56 =  b+h 

b = 56-h

b^2+h^2 = (56-h)^2 +h^2 = 42^2

56^2+h^2-112h+h^2 = 42^2 

(56^2-42^2)+2h^2-112h = 0

686+h^2-56h = 0 

h = (56±√(56^2-686*4) )/2 = (18,10 ; 37,90) cm

La figura mostra come l'area del rombo (in rosso) sia la metà di quella del rettangolo , l'area verde essendo congruente a quella rossa 

area rettangolo Are = b*h = 686,0 cm^2 

area rombo Aro = Are/2 = 343,0 cm^2

Se il perimetro è 112cm, la somma di base ed altezza è 112/2=56cm.
Quindi diciamo che b+h=56.
Contemporaneamente, per Pitagora deve valere la relazione b^2+h^2= 42^2.
Risolvendo in sistema le due equazioni, si ottiene come soluzione accettabile b= 37,9 e h= 18,1 (valori approssimati). 

Dunque l'area del rettangolo, b*h, sarà 37.9*18,1= 686 cm2 e quella del rombo, che occupa metà della superficie del rettangolo, sarà 686/2 = 343cm2

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E perché mai io dovrei rispondere a uno che mi sputacchia?
Leggi quest'articolo
http://blog.etinet.it/lettere-maiuscole-quando-vanno-evitate-e-quando-sono-da-usare/
e tràine ispirazione per il futuro!
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Nomi simbolici
Il rettangolo di base b e altezza h ha:
* perimetro p = 2*(b + h)
* diagonale d = √(b^2 + h^2)
* area S = b*h
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Disegno
Disegna: un rettangolo di qualsiasi forma, il rombo dei punti medi e le sue diagonali.
Osserva che le diagonali del rombo partizionano il rettangolo in quattro rettangoli congruenti, simili a quello grande, le cui diagonali (i lati del rombo) li dimezzano.
Quindi la richiesta area A del rombo è metà dell'area S del rettangolo grande: A = S/2.
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Risoluzione
Il problema si risolve, col minimo dei calcoli, applicando due prodotti notevoli
* quadrato di binomio: (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2*x*y
* differenza di quadrati: x^2 - y^2 = (x + y)*(x - y)
ottenendo
* S = (p/2 - d)*(p/2 - d)/2
* A = S/2 = (p/2 - d)*(p/2 - d)/4
che con i dati
* p = 112 cm
* d = 42 cm
dà
* A = (112/2 - 42)*(112/2 - 42)/4 = 49 cm^2
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Dettagli
Per esprimere S in funzione di d e p considera il quadrato di binomio
* (b + h)^2 = b^2 + h^2 + 2*b*h
dove
* (b + h)^2 = (p/2)^2
* b^2 + h^2 = d^2
* 2*b*h = 2*S
e che pertanto si può riscrivere come
* (p/2)^2 = d^2 + 2*S ≡
≡ 2*S = (p/2)^2 - d^2 ≡
≡ S = (p/2 - d)*(p/2 - d)/2