[Risolto] Aiuto

Quattro esercizi (22, 23, 24, 25) pubblicati quasi di seguito (nel giro di sette minuti) ai link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/183738 ... /183739 ... /183743 ... /183747
che sono istanze di una sola domanda
«Hai imparato, o ancora no, come si risolve un prisma regolare?»
A prima vista la tua risposta dovrebb'essere
«Ancora no, sono andata alla pagina degli esercizi senza prima aver studiato quelle precedenti dove si spiegavano le cose necessarie a risolverli.»
Allora cerco di raccontarti cos'è che ancora non hai studiato (o che non rammenti).
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A) Poligono regolare
Si chiama così un n-agono convesso equilatero ed equiangolo di lato L, apotema a, perimetro p = n*L, area S = n*a*L/2.
Presenta due rapporti caratteristici detti numeri fissi, di solito riportati in una Tavola a fine capitolo approssimati a tre cifre significative.
* f(n) = a/L = 1/(2*tg(π/n))
* j(n) = S/L^2 = n*f(n)/2 = n/(4*tg(π/n))
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1) I tre numeri adimensionali {n, f(n), j(n)} rappresentano la medesima informazione.
2) Le quattro misure dimensionate {a, L, p, S} si relazionano tramite uno dei numeri puri.
3) Quindi per risolvere un poligono regolare occorrono e bastano un numero puro e una misura.
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B) Prisma regolare
Si chiama così un prisma retto, di altezza h, che ha per base un poligono regolare.
L'area di base SB è l'area S del poligono di base: SB = n*a*L/2.
L'area laterale SL è il prodotto dell'altezza h per il perimetro p del poligono di base: SL = h*n*L.
L'area totale ST è la somma SL + 2*SB: ST = n*(a + h)*L.
Il volume V è il prodotto dell'altezza h per l'area di base SB: V = h*n*a*L/2.
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4) Quindi per risolvere un prisma regolare occorre e basta aver risolto la base e una misura fra {h, SL, ST, V}.
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C) Esercizi
22) Dati: n = 3, SL = 384 cm^2, h = 20 cm; si chiede L.
* L = SL/(n*h) = 384/(3*20)
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24) Dati: n = 5, ST = 990 cm^2, h = 16,5 = 33/2 cm; si chiede L.
* L = SL/(n*h) = (ST - 2*SB)/(5*33/2) =
= 2*(990 - 2*5*a*L/2)/165 ≡
= 2*(990 - 10*(L*f(5))*L/2)/165 ≡
= 2*(990 - 10*(L*1183/1719)*L/2)/165 ≡
= 12 - 2366*L^2/56727
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* (L - (12 - 2366*L^2/56727) = 0) & (L > 0) ≡
≡ (L^2 + (56727/2366)*L - 340362/1183 = 0) & (L > 0) ≡
≡ (L = (- 56727 ± 9*√119263265)/4732) & (L > 0) ≡
≡ L = (- 56727 + 9*√119263265)/4732 ~= 8.782 ~= 9
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* f(5) = 1/(2*tg(π/5)) = 1/(2*√(5 - 2*√5)) ~= 1183/1719 ~= 0.6882
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23) Dati: n = 4, SB = 225 cm^2, h = 23 cm; si chiede SL.
* SL = n*h*L = 4*23*L = 92*√(SB) = 92*√225 = 1380
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25) Dati: n = 6, L = 1,6 = 8/5 cm, h = 0,9 = 9/10 cm; si chiede SL.
* SL = n*h*L = 6*(9/10)*8/5 = 216/25 = 8.64