[Risolto] Espressioni ad esponente razionale

A chi dice che "Il problema è proprio che non so da dove iniziare" il mio primo consiglio è di iniziare dallo studiare di nuovo tutta la teoria andando più lentamente della prima volta, con a fianco un foglio di cartaccia su cui provare il funzionamento di tutte le regole che si stanno studiando via via.
Il secondo consiglio è di scrivere su un foglio di carta buona un promemoria con tutte le regole studiate NON COME STANNO SUL LIBRO, ma esclusivamente come sono state capite; cioè un promemoria organizzato secondo le proprie associazioni d'idee.
Gli esercizi si devono affrontare avendo sott'occhio solo questo promemoria e senza più guardare il libro. Al primo esercizio che non si riesce a fare così, si ricicla: buttare via il promemoria evidentemente incompleto e iniziare un nuovo ripasso ancora più lento e con maggior uso di cartaccia; poi ricostruirsi un nuovo promemoria ascoltando con più sincerità la propria mente, senza il libro.
Questo metodo, applicato con umiltà e pazienza, è utile non solo per le materie scientifiche, ma anche per Italiano, Latino, Greco, Storia e Geografia: la massima utilità è quella di insegnarti in un paio di mesi (impiegando inizialmente parecchio tempo) a cogliere l'essenziale da ciò che studii e quindi poi a studiare bene molto rapidamente: il tempo in più richiesto per allenarsi, dopo frutta il 300%.
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Per l'esercizio 499
* [((a*b^(1/3))*(a^(- 1/2))*b^(2/3)/((a^(3/2))*b^5))^(- 1/2) : (a^(1/4)/b^(- 1/2))^2]^6 : b^(11/2)
la prima operazione da fare è riscriverlo trasformandone la sintassi.
Sul libro è stampato con "sintassi da tipografo" che si sviluppa in due dimensioni con esponenti e linee di frazione nonché con parentesi di generi diversi e operatori espliciti (+, -, : ) solo per addizione, sottrazione e divisione; la moltiplicazione si indica giustapponendo e l'esponenziazione scrivendo gli esponenti in apice e con un corpo minore.
Se invece scrivi con "sintassi da compilatore" hai l'enorme vantaggio di poter fare controllare la correttezza dei tuoi calcoli (da un passaggio all'altro) da un qualche software di calcolo simbolico (io uso www.wolframalpha.com) e così acquistare ulteriore sicurezza oltre quella dovuta al metodo dei promemoria.
La "sintassi da compilatore" è quella imposta dall'uso della tastiera: i caratteri sono tutti in fila su un'unica riga e sono solo quelli dell'alfabeto ISO-ASCII; gli operatori sono espliciti tutti ("^ caret" per esponenziare, "* asterisco" per moltiplicare, "/ barra" per dividere e per linea di frazione non ": duepunti".); le parentesi sono tonde tutte (le graffe delimitano insiemi, i quadratelli liste) e ce ne sono tante, per evitare equivoci.
Alla mia trascrizione di su bastano poche modifiche:
* al posto di "dividendo : divisore" scrivo "(dividendo)/(divisore)" racchiudendo fra parentesi gli operandi se non sono semplici;
* al posto dei quadratelli scrivo parentesi (graffe non ce ne sono).
QUINDI
499) (((a*b^(1/3))*(a^(- 1/2))*b^(2/3)/((a^(3/2))*b^5))^(- 1/2)/(a^(1/4)/b^(- 1/2))^2)^6/b^(11/2)
e, su questa trascrizione, si può attivare il valutatore di espressioni
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28%28a*b%5E%281%2F3%29%29*%28a%5E%28-1%2F2%29%29*b%5E%282%2F3%29%2F%28%28a%5E%283%2F2%29%29*b%5E5%29%29%5E%28-1%2F2%29%2F%28a%5E%281%2F4%29%2Fb%5E%28-1%2F2%29%29%5E2%29%5E6%2Fb%5E%2811%2F2%29&assumption=%22%5E%22+-%3E+%22Real%22
da cui si vede che, se non si sbaglia nessun passaggio, l'espressione vale
499) b^(1/2) = √b
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NB: nei prossimi passaggi non metto il link alla verifica di correttezza, ma tu dovresti sottoporli a WolframAlpha e vedere che cosa succede.
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Nelle seguenti REGOLE estratte dal PROMEMORIA uso "q" e "Q" per "qualsiasi".
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Regola #1 da inverso a esponente negativo e viceversa: q^(- Q) = 1/q^Q
* q/((a^(3/2))*b^5) = (q)*(a^(- 3/2))*b^(- 5)
* q/b^(- 1/2) = (q)*b^(1/2)
* q/((a^(1/4))*b^(1/2))^2 = (q)*((a^(- 1/4))*b^(- 1/2))^2
* q/b^(11/2) = (q)*b^(- 11/2)
QUINDI
499) (((((a*b^(1/3))*(a^(- 1/2))*(b^(2/3))*(a^(- 3/2))*b^(- 5))^(- 1/2))*((a^(- 1/4))*b^(- 1/2))^2)^6)*b^(- 11/2)
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Regola #2 proprietà aritmetiche
2a) proprietà commutativa della moltiplicazione: m*n = n*m
* (a*b^(1/3))*(a^(- 1/2))*(b^(2/3))*(a^(- 3/2))*(b^(- 5)) =
= (a^(- 1/2))*(a^(- 3/2))*a*(b^(1/3))*(b^(2/3))*(b^(- 5))
2b) prodotto di potenze della stessa base: (q^r)*(q^s)*(q^t) = q^(r + s + t)
* (a^(- 1/2))*(a^(- 3/2))*a = a^(- 1/2 + - 3/2 + 1) = a^(- 1)
* (b^(1/3))*(b^(2/3))*(b^(- 5)) = b^(1/3 + 2/3 - 5) = b^(- 4)
2c) potenza di potenza: (q^m)^n = q^(m*n)
* ((a*b^(1/3))*(a^(- 1/2))*(b^(2/3))*(a^(- 3/2))*b^(- 5))^(- 1/2) =
= ((a^(- 1))*b^(- 4))^(- 1/2) =
= (a^(1/2))*b^(4/2) =
= (a^(1/2))*b^2
* ((a^(- 1/4))*b^(- 1/2))^2 = (a^(- 2/4))*b^(- 2/2) = (a^(- 1/2))*b^(- 1)
QUINDI
499) ((((a^(1/2))*b^2)*(a^(- 1/2))*b^(- 1))^6)*b^(- 11/2)
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Gli ulteriori passaggi consistono nell'applicazione delle stesse proprietà sull'espressione via via più semplificata, fino a ritrovare la radice di b; ovviamente usando WolframAlpha per verificare la correttezza di ciascuna riscrittura.

Prova a farlo e ti correggiamo se sbagli.