Mate

y = a·x^2 + b·x + c

passa per per i punti dati.

{2 = a·1^2 + b·1 + c passa per A(1,2)

{3 = a·2^2 + b·2 + c passa per B(2,3)

quindi risolvo:

{a + b + c = 2

{4·a + 2·b + c = 3

supposto c come parametro ottengo:

[a = (c - 1)/2 ∧ b = (5 - 3·c)/2]

Metto quindi a sistema la parabola y(x,c) con la retta data:

{y = (c - 1)/2·x^2 + (5 - 3·c)/2·x + c

{y = 2·x

quindi:

(c - 1)/2·x^2 + (5 - 3·c)/2·x + c - 2·x = 0

x^2·(c - 1) + x·(1 - 3·c) + 2·c = 0

Impongo la condizione di tangenza:

Δ = 0

(1 - 3·c)^2 - 8·(c - 1)·c = 0

c^2 + 2·c + 1 = 0-----> (c + 1)^2 = 0---> c = -1

[a = (-1 - 1)/2 ∧ b = (5 - 3·(-1))/2]

[a = -1 ∧ b = 4]

la parabola è:

y = - x^2 + 4·x - 1

Di parabole che soddisfacciano alle specifiche ce n'è un'infinità, e non posso rappresentarle graficamente tutte.
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La generica parabola Γ del piano Oxy ha equazione
* Γ(a, b, c, u, v) ≡ (u*x + v*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
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I vincoli d'appartenenza di A(1, 2) e B(2, 3) determinano due parametri su cinque
* ((u*1 + v*2)^2 + a*1 + b*2 + c = 0) & ((u*2 + v*3)^2 + a*2 + b*3 + c = 0) ≡
≡ (a = c - 5*u^2 - 12*u*v - 6*v^2) & (b = - (c - 2*u^2 - 4*u*v - v^2))
da cui
* Γ(c, u, v) ≡ (u*x + v*y)^2 + (c - 5*u^2 - 12*u*v - 6*v^2)*x - (c - 2*u^2 - 4*u*v - v^2)*y + c = 0
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Il vincolo di tangenza con la retta
* t ≡ y = 2*x
significa che la risolvente del sistema "t & Γ(c, u, v)"
* (u*x + v*2*x)^2 + (c - 5*u^2 - 12*u*v - 6*v^2)*x - (c - 2*u^2 - 4*u*v - v^2)*2*x + c = 0 ≡
≡ ((u + 2*v)^2)*x^2 - (c + (u + 2*v)^2)*x + c = 0
deve avere discriminante nullo
* Δ = (c - (u + 2*v)^2)^2 = 0 ≡ c = (u + 2*v)^2
da cui
* Γ(u, v) ≡ (u*x + v*y)^2 + (2*v^2 - 4*(u + v)^2)*x - (3*v^2 - u^2)*y + (u + 2*v)^2 = 0
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Rappresentazioni grafiche e verifica di correttezza su quattro casi (non su tutti gli infiniti possibili)
* Γ(1, 1) ≡ (x + y)^2 = 2*(7*x + y) - 9
* Γ(1, - 2) ≡ (x - 2*y)^2 = 11*y - 4*x - 9
* Γ(2, 1) ≡ (2*x + y)^2 = 34*x - y - 16
* Γ(0, - 4) ≡ x = (y^2 - 3*y + 4)/2
Vedi il grafico e il paragrafo "Solution/s" ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D2*x%2C%28x--y%29%5E2%3D2*%287*x--y%29-9%2C%28x-2*y%29%5E2%3D11*y-4*x-9%2C%282*x--y%29%5E2%3D34*x-y-16%2Cx%3D%28y%5E2-3*y--4%29%2F2%5D
e
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x--y%29%5E2%3D2*%287*x--y%29-9%2C%28x-2*y%29%5E2%3D11*y-4*x-9%2C%282*x--y%29%5E2%3D34*x-y-16%2Cx%3D%28y%5E2-3*y--4%29%2F2%5D