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[Risolto] Modello di Malthus

  

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Una popolazione batterica cresce secondo un modello esponenziale con tempo di raddoppio di 720 s. Al tempo t=5h la popolazione raggiunge un dato valore N1.

1. A quale valore di t (in secondi) raggiunge il 5% di N1?

2. Se la popolazione iniziale era N0=10 quanto vale N1?

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1

Cara Yulika, ho notato che ieri sera, a partire da dieci minuti dopo la mia risposta alla tua domanda
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/160027/
e per la quale mi scrivesti subito "La ringrazio tantissimo 🙏🏼", ne hai pubblicate altre simili senza renderti conto che si trattava di differenti istanze dello stesso problema!
Forse ti potrà servire questa risposta collettiva che le inquadra tutte in un'unica cornice, così che tu possa renderti conto che al di sotto delle diversità narrative con cui sono presentati gli esercizi soggiace la medesima astrazione matematica.
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Modelli esponenziali: crescita (Malthus) o decadimento.
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Il modello di crescita/decadimento esponenziale di una popolazione di n(t) elementi all'istante t >= 0, con
* N = n(0) = popolazione iniziale all'istante t = 0
* T > 0 = tempo di "raddoppio (crescita)" o "dimezzamento (decadimento)"
* Ď„ > 0 = "costante di tempo" del sistema modellato
* t, T, Ď„ espressi nella medesima unitĂ  di misura
assume due diverse forme, equivalenti, secondo che la natura del problema indichi che la proprietĂ  temporale caratterizzante l'evoluzione sia meglio rappresentata da Ď„ o da T
* n(t) = N*e^(± t/τ)
* n(t) = N*2^(± t/T)
che sono equivalenti grazie all'equazione del cambiamento di base
* e^(t/τ) = 2^(t/T) ≡ T/τ = ln(2) ~= 0.69 ≡ T = τ*ln(2) ≡ τ = T/ln(2)
e dove gli esponenti hanno il segno piĂą per modellare una crescita o il segno meno per modellare un decadimento.
Come si vede dall'equazione di n(t), essa è completamente individuata determinando i valori della popolazione iniziale e della proprietà temporale; affinché la soluzione di un esercizio risulti determinata esso deve fornire due dati che consentano di calcolare i valori dei due parametri.
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ESERCIZI
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/160027/
Dati: T = 24 min; n(5 h) = N*2^(5/(24/60)) = N1
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Chiede 1: x (in secondi) tale che n(x) = N*2^(x/(24*60)) = 5*N1/100
* N*2^(x/(24*60)) = 5*N*2^(5/(24/60))/100 ≡
≡ x = 720*(21 - 2*ln(5)/ln(2)) ~= 11776
---------------
Chiede 2: N1 nel caso di N = 10. N1 = 10*2^(5/(24/60)) ~= 57926
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/160040/
Dato: T = 17 min; chiede: k = 1/Ď„ approssimato con errore non superiore a 0.0001
* k = 1/Ď„ = 1/(T/ln(2)) = ln(2)/17 ~= 0.04077336356235 ~= 0.04077/minuto
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/160067/
Dati: T = 720 s; T = 720 s; n(5 h) = N*2^(5*3600/720) = N1
---------------
Chiede 1: x (in secondi) tale che n(x) = N*2^(x/720) = 5*N1/100
* N*2^(x/720) = 5*N*2^(5*3600/720)/100 ≡
≡ x = x = 720*ln(8388608/5)/ln(2) ~= 14888
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Chiede 2: N1 nel caso di N = 10. N1 = 10*2^(5*3600/720) ~= 335544320
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/160069/
Dati: N = 10; n(2 h) = 10*2^(2*3600/T) = 40960 = N1
---------------
Chiede 1: x (in secondi) tale che n(x) = N*2^(x/T) = 3*N1/100
Chiede 2: T (in secondi)
* (10*2^(7200/T) = 40960) & (10*2^(x/T) = 3*40960/100) ≡
≡ (T = 600 s) & (x = 600*ln(3072/25)/ln(2) ~= 4164.66 ~= 4165 s)

 



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