Modello di Malthus . Modello esponenziale

Poniamo T in ore : 24 min = 24/60 h = 0.4 h

N(t) = No * 2^(t/0.4) = 10 * 2^(t/0.4)

2) N1 = 10*2^(5/0.4) = 57926 unità

1) No * 2^(t/0.4) = 0.05 No * 2^(5/0.4)

2^(5/2 t) = 0.05 * 2^12.5

t = 8.178 * 0.4 * 3600 s = 11776 s

Il modello esponenziale, con un dato tempo di raddoppio T > 0, ha la forma
* n(t) = N*2^(t/T)
per ogni t >= 0, dove N = n(0) è la popolazione iniziale e t è nelle unità del T dato.
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NEL CASO IN ESAME
Dati
* T = 24 minuti
* n(5 h) = n(300) = N*2^(300/24) = (4096*√2)*N = N1
si chiede di risolvere due equazioni.
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1) "A quale valore di t (in secondi) raggiunge il 5% di N1?"
* N*2^(x/24) = (5/100)*(4096*√2)*N ≡
≡ 2^(x/24) = 1024*√2/5 = 2^(21/2)/5 ≡
≡ log(2, 2^(x/24)) = log(2, 2^(21/2)/5) ≡
≡ x/24 = 21/2 - log(2, 5) ≡
≡ x = 24*(21/2 - log(2, 5)) ~= 196.2737 min ~= 11776.4235 ~= 11776 s
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2) "Se la popolazione iniziale era N0=10 quanto vale N1?"
* N1 = (4096*√2)*N = (4096*√2)*10 ~= 57926.1875 ~= 57926 batteri

Cara Yulika, ho notato che ieri sera, a partire da dieci minuti dopo la mia risposta alla tua domanda
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/160027/
e per la quale mi scrivesti subito "La ringrazio tantissimo 🙏🏼", ne hai pubblicate altre simili senza renderti conto che si trattava di differenti istanze dello stesso problema!
Forse ti potrà servire questa risposta collettiva che le inquadra tutte in un'unica cornice, così che tu possa renderti conto che al di sotto delle diversità narrative con cui sono presentati gli esercizi soggiace la medesima astrazione matematica.
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Modelli esponenziali: crescita (Malthus) o decadimento.
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Il modello di crescita/decadimento esponenziale di una popolazione di n(t) elementi all'istante t >= 0, con
* N = n(0) = popolazione iniziale all'istante t = 0
* T > 0 = tempo di "raddoppio (crescita)" o "dimezzamento (decadimento)"
* τ > 0 = "costante di tempo" del sistema modellato
* t, T, τ espressi nella medesima unità di misura
assume due diverse forme, equivalenti, secondo che la natura del problema indichi che la proprietà temporale caratterizzante l'evoluzione sia meglio rappresentata da τ o da T
* n(t) = N*e^(± t/τ)
* n(t) = N*2^(± t/T)
che sono equivalenti grazie all'equazione del cambiamento di base
* e^(t/τ) = 2^(t/T) ≡ T/τ = ln(2) ~= 0.69 ≡ T = τ*ln(2) ≡ τ = T/ln(2)
e dove gli esponenti hanno il segno più per modellare una crescita o il segno meno per modellare un decadimento.
Come si vede dall'equazione di n(t), essa è completamente individuata determinando i valori della popolazione iniziale e della proprietà temporale; affinché la soluzione di un esercizio risulti determinata esso deve fornire due dati che consentano di calcolare i valori dei due parametri.
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ESERCIZI
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/160027/
Dati: T = 24 min; n(5 h) = N*2^(5/(24/60)) = N1
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Chiede 1: x (in secondi) tale che n(x) = N*2^(x/(24*60)) = 5*N1/100
* N*2^(x/(24*60)) = 5*N*2^(5/(24/60))/100 ≡
≡ x = 720*(21 - 2*ln(5)/ln(2)) ~= 11776
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Chiede 2: N1 nel caso di N = 10. N1 = 10*2^(5/(24/60)) ~= 57926
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/160040/
Dato: T = 17 min; chiede: k = 1/τ approssimato con errore non superiore a 0.0001
* k = 1/τ = 1/(T/ln(2)) = ln(2)/17 ~= 0.04077336356235 ~= 0.04077/minuto
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/160067/
Dati: T = 720 s; T = 720 s; n(5 h) = N*2^(5*3600/720) = N1
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Chiede 1: x (in secondi) tale che n(x) = N*2^(x/720) = 5*N1/100
* N*2^(x/720) = 5*N*2^(5*3600/720)/100 ≡
≡ x = x = 720*ln(8388608/5)/ln(2) ~= 14888
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Chiede 2: N1 nel caso di N = 10. N1 = 10*2^(5*3600/720) ~= 335544320
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http://www.sosmatematica.it/forum/postid/160069/
Dati: N = 10; n(2 h) = 10*2^(2*3600/T) = 40960 = N1
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Chiede 1: x (in secondi) tale che n(x) = N*2^(x/T) = 3*N1/100
Chiede 2: T (in secondi)
* (10*2^(7200/T) = 40960) & (10*2^(x/T) = 3*40960/100) ≡
≡ (T = 600 s) & (x = 600*ln(3072/25)/ln(2) ~= 4164.66 ~= 4165 s)