Operazioni con radicali

Effettuando il prodotto degli indici di radice

rad_6 ((2x-1)/2x) e deve quindi essere    (2x-1)/(2x) >= 0

Prendendo gli intervalli esterni   x < 0 V x >= 1/2

DEFINIZIONI E SPIEGAZIONE
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La condizione di esistenza CE della funzione y = f(x), con x reale, è la proprietà caratteristica dell'insieme di definizione D[f(x)] cioè di quel sottinsieme dell'asse reale tale che
* ∀ x ∈ D ⊆ R ∃ y ∈ C
per ogni x in D y assume un valore reale, immaginario o complesso.
Volendo escludere la possibilità che y assuma valori non reali occorre restringersi all'insieme di definizione reale DR cioè di quel sottinsieme di D tale che
* ∀ x ∈ DR ⊆ D ⊆ R ∃ y ∈ R
per ogni x in DR y assume un valore reale.
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Se f(x) è un radicale, cioè una potenza ad esponente razionale
* y = f(x) = (g(x))^(n/d), n ∈ Z, d ∈ N
dove è solo il radicando, la base della potenza, ad essere funzione di x (mentre il numeratore dell'esponente è una costante intera e il denominatore una costante naturale) allora
A) l'insieme di definizione di f(x) coincide con quello di g(x)
* D[f(x)] = D[g(x)]
B) ma non in ogni caso ciò vale anche per l'insieme di definizione reale:
B1) (k ∈ N) & (d = 2*k + 1) → DR[f(x)] = DR[g(x)]
B2) (k ∈ N) & (d = 2*k) → DR[f(x)] = DR[g(x)] ∩ g(x) >= 0
cioè se la radice ha indice pari allora, affinché y abbia valore reale e non immaginario, occorre l'ulteriore condizione che il radicando non sia negativo.
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ESERCIZIO 157
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* y = f(x) = ∛(√((2*x - 1)/(2*x))) =
= ((1 - 1/(2*x))^(1/2))^(1/3) =
= (1 - 1/(2*x))^(1/6)
essendo il sei un naturale pari si ha
* D[f(x)] = D[g(x)] = x != 0
ma
DR[f(x)] = DR[g(x)] ∩ g(x) >= 0 =
= (x != 0) & (1 - 1/(2*x) >= 0) =
= (x != 0) & ((x < 0) oppure (x >= 1/2)) =
= (x != 0) & (x < 0) oppure (x != 0) & (x >= 1/2) =
= (x < 0) oppure (x >= 1/2)
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CONTROPROVA nel paragrafo "Properties as a real function" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%9B%28%E2%88%9A%28%282*x-1%29%2F%282*x%29%29%29
ATTENZIONE
Per i testi di matematica USA la parola "domain" significa ciò che sui testi italiani si chiama "insieme di definizione reale" (o che, almeno, così si chiamava quando io frequentavo il biennio della facoltà di Scienze negli anni accademici 1957/59.).