AIUTO LOGARITMI URGENTE!!!! [2]

RIPASSO
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La crescita e il decadimento esponenziali sono governati dal medesimo modello matematico che, in funzione del tempo, ha la forma
* a(t) = A*b^(c*t)
dove
* t = istante segnato dal cronometro di sistema
* a = variabile dipendente
* A = a(t) = valore iniziale di a, detto anche "fattore di forma"
* b = base dell'esponenziale, positiva e diversa da uno
** se i dati parlano di raddoppio o dimezzamento si sceglie b = 2
** se i dati sono generici si sceglie b = e
* c = costante diversa da zero che regola la rapidità e l'andamento del fenomeno
** c < 0 modella il decadimento
per b = 2, c = - 1/T con T = tempo di dimezzamento
per b = e, c = - 1/τ con τ (tau) = costante di tempo del fenomeno
** c > 0 modella la crescita
per b = 2, c = 1/T con T = tempo di raddoppio
per b = e, c = 1/τ con τ (tau) = costante di tempo del fenomeno
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Una volta scelta la base, per particolarizzare il modello occorrono e sono sufficienti due soli dati che consentano di determinare i parametri (A, c).
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ESERCIZI
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23) Dati (a(14) = 1000) & (a(16) = 9000) si chiede il valore di a(18).
Dati generici, base b = e.
* a(14) = A*e^(c*14) = 1000
* a(16) = A*e^(c*16) = 9000
Sistema
* (a(14) = 1000) & (a(16) = 9000) ≡
≡ (e^(c*14) = 1000/A) & (e^(c*16) = 9000/A) ≡
≡ (ln(e^(c*14)) = ln(1000/A)) & (ln(e^(c*16)) = ln(9000/A)) ≡
≡ (c*14 = ln(1000/A)) & (c*16 = ln(9000/A)) ≡
≡ (c = ln(1000/A)/14) & (c = ln(9000/A)/16)
Risolvente
* ln(1000/A)/14 = ln(9000/A)/16 ≡ A = 1000/3^14 (A < 1! esercizio mal pensato)
da cui
* c = ln(1000/(1000/3^14))/14 = ln(3^14)/14 = ln(3)
quindi
* a(t) = (1000/3^14)*e^(t*ln(3)) = (1000/3^14)*3^t ≡
≡ a(t) = 1000*3^(t - 14)
e infine
* a(18) = 1000*3^(18 - 14) = 1000*81 = 81000
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24) Dato T = - 30 dì si chiede il valore di 1/τ.
Dato il dimezzamento, base b = 2.
* a(t) = A*2^(- t/30) = A*e^(- t/τ) ≡
≡ 2^(- t/30) = e^(- t/τ) ≡
≡ ln(2^(- t/30)) = ln(e^(- t/τ)) ≡
≡ (- t/30)*ln(2) = - t/τ ≡
≡ τ = 30/ln(2) ≡
≡ k = 1/τ = ln(2)/30