[Risolto] Come si fa ??

Caro Saverio,
anzitutto benvenuto nella comunità degli utenti di questo sito!
Ogni nuova fonte di domande interessanti è una gioia per i responsori abituali: parlo per me, ovviamente (anche se uso il plurale tirando a indovinare).
Tuttavia devo dar ragione @Sebastiano nella sua obiezione un po' ermetica, che ti spiego subito con qualche parola in più: questo sito è, per Regolamento (leggilo, ti chiarisce la situazione.), dedicato a discutere su argomenti di matematica e/o di fisica; ciò significa che chi lo frequenta, sia richiedenti che responsori, sono tenuti a conoscere il gergo tecnico di quelle due sole discipline. Se scolari, alunni, studenti e cultori di altre discipline hanno bisogno di discutere sui modelli matematici di tali altre discipline non devono pubblicare domande nel loro gergo tecnico, ma devono presentarle o convertendo i termini o, se intendono usare la formulazione originale della questione, dando un miniglossario che traduca i loro termini in quelli di matematica e/o di fisica. Così uno studente di lettere deve dire 'grafo' e non 'stemma'; uno d'ingegneria o di medicina deve illustrare il suo gergo nella terminologia della fisica e uno di economia o di giurisprudenza in quello della matematica.
In poche parole: qui si risponde a domande comprensibili a colpo d'occhio da un matematico e/o da un fisico, non tocca a chi risponde fare ricerche, ma tocca a chi chiede di farsi capire.
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Vengo al testo della tua domanda.
1) Il Regolamento prescrive di pubblicare una sola questione per domanda.
2) La funzione "logaritmo naturale" è "ln(argomento)" scritto col carattere "elle minuscolo" e non con "i maiuscolo".
3) La moltiplicazione si deve indicare con un operatore esplicito: o da tastiera il carattere "* asterisco" o da Copia/Incolla il carattere "· punto inglese", ma SI DEVE VEDERE. Se tu intendi esprimere "il prodotto di b per il logaritmo naturale di L" DEVI scrivere "b*ln(L)"; se invece scrivi "bIn(L)" qui si capisce che stai indicando "il numerale binario del numero L".
4) Scrivendo su una tastiera i caratteri sono tutti su una sola linea e ciò rende obbligatorio usare molte più parentesi che in composizione tipografica. La stringa "k^a*L^(1-a)" è algebricamente equivoca per carenza di parentesi: potendola intendere come una delle espressioni univoche "k^(a*L^(1-a))" o "(k^(a*L))^(1-a)" o "(k^a)*L^(1-a)".
5) Se vuoi usare nomi descrittivi DEVI dare la corrispondenza con quelli simbolici presenti nelle espressioni algebriche altrimenti devi attenerti solo a quelli simbolici; ad esempio non devi scrivere
* "... In(y)=aIn(k)+bIn(L) ... sia al capitale fisico sia al fattore lavoro"
ma devi scegliere fra
* "... In(y)=aIn(k)+bIn(L) ... sia al capitale fisico k sia al fattore lavoro L"
oppure
* "... In(y)=aIn(k)+bIn(L) ... sia a k sia ad L"
dando preferenza alla quest'ultima forma che privilegia l'astrazione matematica rispetto al significato economico che, come detto su, interessa solo te richiedente e non noi responsori.
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Vengo al merito della tua domanda (solo il primo quesito, il secondo è equivoco).
«Data la funzione di produzione
* ln(y) = a*ln(k) + b*ln(L)
calcolare l'elasticità di y sia rispetto a k che rispetto ad L.»
DOVE
"elasticità η(x, y)" = il rapporto tra le variazioni percentuali delle due variabili argomento o, se ha senso, la derivata per l'inverso del loro rapporto.
L'elasticità di y rispetto x è
* η(x, y) = (100*(y + Δy - y)/y)/(100*(x + Δx - x)/x) = (Δy/Δx)*(x/y)
o, se si può,
* η(x, y) = (dy/dx)*(x/y) = d(ln(y))/d(ln(x))
DA CUI, con
* Y = ln(y)
* K = ln(k)
* ln(y) = a*ln(k) + b*ln(L) ≡
≡ Y = a*K + altroSenzaK
si ha
* η(k, y) = (dy/dk)*(k/y) = d(ln(y))/d(ln(k)) =
= dY/dK = a
oppure, senza le sostituzioni,
* ln(y) = a*ln(k) + b*ln(L) ≡
≡ e^ln(y) = e^(a*ln(k) + b*ln(L)) ≡
≡ y = e^(a*ln(k) + b*ln(L))
* dy/dk = a*(k^(a - 1))*L^b
* k/y = k/e^(a*ln(k) + b*ln(L))
* η(k, y) = (a*(k^(a - 1))*L^b)*(k/e^(a*ln(k) + b*ln(L))) = a
NB: le semplificazioni te le scrivi da te!
NB2: analogamente per
* η(L, y) = b

Magari se tu spiegassi cosa si intende per "elasticità" in questo caso, forse potremmo anche aiutarti.

Credo che tu inteda questo

https://it.wikipedia.org/wiki/Elasticit%C3%A0_di_output

Quindi si tratta di calcolare

ei = df/dxi : (f(x)/xi)

In base a quanto scritto nel riferimento

e adottando la forma alternativa con i logaritmi

eK = a e eL = b

La seconda é poco chiara, almeno per me.