Se si tratta di capire, ti aiuto io.
Se invece si tratta di volerli vedere svolti ti tocca prima di studiare bene il Regolamento e poi di pubblicare una marea di domande anziché una sola.
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Gli esercizi ##1, 4, 5 riguardano:
* definizione di circonferenza (1h);
* relazioni fra centro, raggio ed equazione.
L'esercizio #2 aggiunge l'intersezione fra due rette.
L'esercizio #3 aggiunge l'intersezione fra una retta e una circonferenza.
Tutt'e cinque danno per scontato che tu abbia studiato bene, conosca tutt'e quattro questi argomenti e che li abbia perfettamente compresi; hanno lo scopo di farti accorgere di quanto e come tu abbia sviluppato la capacità di applicare a casi concreti tutto ciò che sai ed hai compreso.
Pertanto, nell'affrontare questa lenzuolata di quesiti, devi anzitutto accertare i prerequisiti chiedendo a te stessa «è proprio sicuro sicuro che ho studiato bene, che conosco tutt'e quattro questi argomenti e che li ho compresi perfettamente?»; se la risposta è negativa anche su uno solo dei tre interrogativi devi ritornare a studiare il capitolo prima di riaffrontare la lenzuolata.
Io qui di seguito ti scrivo quattro righe di promemoria, ma la spiegazione sta sul libro: ti tocca!
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PROMEMORIA
Quanto segue è nell'ambito di un piano dotato di un riferimento Oxy ortogonale e monometrico.
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A) Circonferenza.
Detto centro un determinato punto C(a, b) e detto raggio un valore r reale positivo, si rammenta che la distanza d da C del generico punto P(x, y) si calcola col Teorema di Pitagora in quanto d è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo (Oxy è ortogonale) che ha per cateti le differenze (Oxy è monometrico) fra le coordinate omologhe dei due punti
* d^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2
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Si chiama circonferenza Γ di raggio r e centro C l'insieme di tutti e soli i punti (luogo geometrico) P tali che questa distanza sia eguale al raggio; scrivendo tale condizione
* Γ ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
si ottiene l'equazione della circonferenza in forma normale standard; da questa si ricava la forma normale canonica sviluppando e portando il secondo membro a zero
* Γ ≡ x^2 - 2*a*x + y^2 - 2*b*y + (a^2 + b^2 - r^2) = 0
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La circonferenza Γ, per definizione, passa per il punto P(u, v) se e solo se le coordinate (u, v) verificano l'equazione, cioè se la distanza fra P e C vale r
* (u - a)^2 + (v - b)^2 = r^2
oppure, con un po' di operazioni in più,
* u^2 - 2*a*u + v^2 - 2*b*v + (a^2 + b^2 - r^2) = 0
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Tutte le equazioni citate nella lenzuolata sono date nella forma canonica
* Γ ≡ x^2 - A*x + y^2 - B*y + C = 0
da cui (per rispondere agevolmente a richieste su centro, raggio e appartenenza di punti) conviene ricavare la forma standard per completamento di quadrati e separazione del termine noto.
* x^2 - A*x = (x - A/2)^2 - (A/2)^2
* y^2 - B*y = (y - B/2)^2 - (B/2)^2
* x^2 - A*x + y^2 - B*y + C =
= (x - A/2)^2 - (A/2)^2 + (y - B/2)^2 - (B/2)^2 + C =
= (x - A/2)^2 + (y - B/2)^2 - (A^2 + B^2 - 4*C)/4
* Γ ≡ x^2 - A*x + y^2 - B*y + C = 0 ≡
≡ x^2 - A*x + y^2 - B*y + C = 0 ≡
≡ (x - A/2)^2 + (y - B/2)^2 = (A^2 + B^2 - 4*C)/4
da cui
* r = √(A^2 + B^2 - 4*C)/2
* C(A/2, B/2)
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B) Intersezione K fra due rette.
* (a*x + b*y + c = 0) & (u*x + v*y + w = 0) ≡
≡ (x = (c*v - b*w)/(b*u - a*v)) & (y = (a*w - c*u)/(b*u - a*v)) ≡
≡ K((c*v - b*w)/(b*u - a*v), (a*w - c*u)/(b*u - a*v))
Se b*u = a*v allora il sistema è impossibile e le rette sono parallele.
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C) Intersezione fra una retta e una circonferenza Γ.
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C1) (x = q) & ((x - a)^2 + (y - b)^2 = k) & (k > 0) ≡
≡ y = b ± √(k - (a - q)^2)
* Δ = k - (a - q)^2
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C2) (y = q) & ((x - a)^2 + (y - b)^2 = k) & (k > 0) ≡
≡ x = a ± √(k - (b - q)^2)
* Δ = k - (b - q)^2
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C3) Il sistema
* (y = m*x + q) & ((x - a)^2 + (y - b)^2 = k) & (k > 0) & (m != 0)
ha risolvente
* (x - a)^2 + (m*x + q - b)^2 - k = 0
con discriminante
* Δ = - 4*((b - a*m - q)^2 - k*(m^2 + 1))
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Si danno tre casi.
* Se Δ < 0 allora il sistema non ha soluzioni reali: Γ non tocca la retta.
* Se Δ = 0 allora il sistema ha una soluzione reale doppia: Γ e la retta sono tangenti.
* Se Δ > 0 allora il sistema ha due soluzioni reali distinte: Γ e la retta sono secanti.
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RICHIESTE DEGLI ESERCIZI
0) 1h: definizione.
1) 1bdegj: appartenenza o meno di un punto.
2) 1ci, 5abcd: misura del raggio.6
3) 2: Intersezione fra due rette; scrittura della forma normale standard.
4) 3: Intersezione fra una retta e una circonferenza.
5) 4: Scrittura della forma normale standard e riconoscimento di una forma equivalente.
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Se tutto ciò non basta, devi pubblicare domande in cui poni richieste specifiche in cui dettagli le tue difficoltà: UNA RICHIESTA PER OGNI DOMANDA.
